[CF55D]Beautiful numbers

题目

传送门 to CF

传送门 to VJ

题意概要
求 $[a,b]$ 中多少个数满足，若非零整数 $x$ 在其十进制表示下出现过，则 $x$ 为其因数。

数据范围与约定
数据组数 $T\le 10$ ，$1\le a\le b\le 9\times10^{18}$ 。

思路

我最初的想法是，十二维 $dp$ ，用 $f(S,x_1,x_2,x_3,\dots,x_9,y)$ 表示，$S$ 是已经出现过的数字（状压），$x_i$ 是原来的数模 $i$ 的值，而 $y$ 表示是否已经小于上界。考虑到第几位，滚动数组优化掉——我往往这么做。你想试试吗？

仔细思考一下，我们并不在乎模每一个已经出现过的数字的余数。因为我们要求它们全部都是零。所以，我们应该考虑 模其最小公倍数的值。

然而不能走一步就模一次，不然最小公倍数发生变化就惨了。比如 $x=6,x\bmod 2=0,x\bmod 7=6$ ，但是 $(x\bmod 2)\bmod 7=0$ 就不等于 $x\bmod 7$ 的值了。

然而数字集是很小的。不难发现所有的最小公倍数都是 $2520$ 的因数，所以模 $2520$ 行得通。

得预处理一下所有可能的 $lcm$ 。有多少个？可以直接计算：$2^3,3^2,5^1,7^1$ 是有可能出现的质因数分解，所以可能的情况是 $4\times 3\times 2\times 2=48$ 个。

发现状态数明显下来了！用 $f(x,y)$ 表示，原数模 $2520$ 的结果是 $x$ ，最小公倍数为 $y$ 。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
inline int readint() {
	int a = 0; char c = getchar(), f = 1;
	for(; c<'0' or c>'9'; c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; '0'<=c and c<='9'; c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
void writeint(int x){
	if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if(x > 9) writeint(x/10);
	putchar((x%10)^48);
}
# define MB template < typename T >
MB void getMax(T &a,const T &b){ if(a < b) a = b; }
MB void getMin(T &a,const T &b){ if(b < a) a = b; }
# define FOR(i,n) for(int i=0; i<(n); ++i)
# define LB lower_bound
typedef long long int_;
int getLcm(int a,int b){ return a/__gcd(a,b)*b; }

const int m = 48; // 不同的lcm的数量
const int all = 2520; // 最大的lcm（所有lcm的lcm）
int_ tmp[all][m][2], dp[all][m][2];
int lcm[m] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,15,18,20,
	21,24,28,30,35,36,40,42,45,56,60,63,70,72,84,
	90,105,120,126,140,168,180,210,252,280,315,360,
	420,504,630,840,1260,2520
}; // 打个表就行咯
int __lcm[m][10]; // lcm[i]与j的lcm
int f[all+1]; // O(1)的对应回lcm

int d[19];
int_ work(int_ num){
	for(int i=18; ~i; --i)
		d[i] = num%10, num /= 10;
	static const int siz = all*m<<4;
	memset(dp,0,siz), dp[0][0][0] = 1;
	for(int x=0; x<19; ++x){
		memset(tmp,0,siz);
		FOR(now,10) FOR(i,all) FOR(j,m){
			int i_ = (i*10+now)%all;
			int j_ = __lcm[j][now];
			int_ *p = tmp[i_][j_];
			if(now <= d[x])
				p[now<d[x]] += dp[i][j][0];
			p[1] += dp[i][j][1];
		}
		swap(dp,tmp); // dp = tmp
	}
	int_ res = 0;
	FOR(j,m) for(int i=0; i<all; i+=lcm[j])
		res += dp[i][j][1];
	return res;
}

int main(){
	FOR(i,m) f[lcm[i]] = i;
	FOR(i,m) FOR(j,10) if(j != 0)
		__lcm[i][j] = f[getLcm(lcm[i],j)];
	FOR(i,m) __lcm[i][0] = i; // 不变
	for(int T=readint(); T; --T){
		int_ x, ans = 0;
		cin >> x, ans -= work(x);
		cin >> x, ans += work(x+1);
		cout << ans << endl;
	}
	return 0;
}