Hile每日算法-3.29-分層建圖

分層建圖

首先來一道題，題意是這樣的：

給定一張有向圖（遊戲地圖），一對起點和終點，每個點代表一個城市，你從起點開車到終點，每次在兩個城市間移動需要1h。每個點（城市）都有五種可能的情況：

1.該點沒有任何道具；

2.該點有阻礙物需要停止1h；

3.到達該點時遊戲失敗（保證起點和終點不爲3）；

4.該點有氮氣，接下來連續兩次移動速度加倍（倍數不可疊加，次數可以）；

5.該點有沙子，接下來連續兩次移動速度減半（同上）；

求從起點到終點最快用時，如果不能到達終點輸出-1.

分析題目，單源最短路徑，很顯然就該用 SPFA dijkstra算法。對於各類點，遇到1不管，2的話將該點的出邊權值（用時）加一，3的話刪除連接這個點的所有邊。

但是，4和5兩種情況怎麼處理？怎麼實現同一條邊權值（用時）加倍和減半的操作，怎麼讓1、0.5、2三種邊權同時存在於一條邊上呢？

換個想法，與其糾結在一條邊上進行的多次修改，不如把所有可能的權值都建立一條邊，也就是說，分層建圖。

（當然，這並不是什麼算法，只是一種建圖的技巧/思想。

就這題而言，可以將圖分爲三層，分別叫做G1G2G3，G1的邊權都爲1，G2都爲0.5，G3都爲2，初始在G1層的起點。對於每一個第四類點（氮氣），我們可以向G3的同一點連一條無權邊（權值爲0），然後對於所有和該點距離在2以內的G3層點向G1連一條無權邊，如圖所示其中G1.1爲氮氣：

（今天剛學Graphiviz，畫的太醜，暫時湊合着看吧）

同理，遇到第五類點作相同處理，這題就變成裸的dijkstra啦。

下面來做道題目體會一下：

bzoj2763: [JLOI2011]飛行路線

給出$n$個點，$m$條邊的無向圖，一對起點和終點，給你$k\ (k\le10)$次將當前邊權變爲$0$的機會，求從起點到終點的最小代價。

由於$k$比較小，我們可以用分層建圖的思想建出$k+1$層圖，分別表示在各點已經使用了$0,1...k$次機會的狀態，各層之間轉移的邊權爲$0$，建完之後跑dij即可。

AC代碼：

#include <bits/stdc++.h>
#define PII pair<int,int>
#define N 10010
#define ll long long
using namespace std;
bool vis[N*11];//用0~n-1,n~2n-1...kn~(k+1)n-1表示k+1層的點
vector<PII> G[N];//由於各層的連通情況都相同，只需對初始層建圖，各層用對n取模訪問
int n,m,k,s,t,d[N*11];
void dijkstra(int s)
{
    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > pq;
    pq.push(make_pair(0,s));
    d[s]=0;
    while(!pq.empty())
    {
        int u=pq.top().second;pq.pop();
        if(vis[u])continue;vis[u]=1;
        for(int it=0;it<G[u%n].size();it++)//QAQ，bzoj不能for(auto:G)
        {
            PII i=G[u%n][it];
            int v=i.second+u-u%n;
            if(d[u]+i.first<d[v])//正常鬆弛
            {
                d[v]=d[u]+i.first;
                pq.push(make_pair(d[v],v));
            }
            if(v+n<(k+1)*n&&d[v+n]>d[u])//到下一層
            {
                d[v+n]=d[u];
                pq.push(make_pair(d[v+n],v+n));
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s,&t);
    for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        G[u].push_back(make_pair(w,v));
        G[v].push_back(make_pair(w,u));
    }
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    dijkstra(s);
    printf("%d",d[k*n+t]);
}