Hile每日算法-3.31-樹形dp之換根法

樹形dp之換根法

週二週三真的太難了，有早課導致不能熬夜，於是就只能趁着中午的時間寫一寫，這幾天先寫點簡單的東西，就當重新複習了，應該算是給初學者的知識普及，其他的過了週三再說。

首先來講一下樹的重心。

樹的重心，即 樹上到所有點的距離之和最小/以此爲根深度最小/最大子樹大小最小 的點，具有很多方便的性質，如：

1.當一棵樹添加/刪除一個節點，樹的重心最多移動一個位置。（動態維護）（19icpc徐州M題，so~no~chi~no~sa~da~me~）

2.當兩棵樹通過某點連接在一起形成新樹時，新樹的重心一定在連接兩棵舊樹重心的路徑上。（兩樹合併）

3.以一顆樹的重心爲根，劃分的子樹大小一定不超過原樹的一半。（樹分治）

衆所周知，回字有四種寫法，門前有兩棵棗樹，重心也有兩種求法（通常情況下），一種是兩遍dfs找樹上最長路徑的中點，一種就是今天要講的內容——樹形dp之換根法。

首先，初始是不知道重心所在的，最直接的方法就是枚舉每個點作爲重心的情況。由上面重心的定義可以知道，重心一定是最大的子樹大小最小的點。因此，我們不妨先把$1$作爲根，設$s[i]$爲以$1$爲根時子樹$i$的大小，根據dfs的性質，子樹遍歷結束的時候，其$s[i]$也被更新完了，所以，一次從$1$開始的dfs就可以求出所有點的子樹大小。

如果我們用$f[i]$來表示以$i$爲根的最大子樹大小，根據上述算法，dfs結束後可以求出$f[1]=max(s[son])$。此時，如果根從$1$換到了$1$的子節點上，$f[i]$該如何變化呢？

$f[i]=max(s[son],n-s[i])$

這裏滿足了動態規劃的三要素：狀態、邊界條件、轉移方程。

更具體地說，要在樹上所有的點中找到滿足條件的根，就要確定隨根變化的數據（狀態）、初始當根爲$1$的情況（邊界條件）、根從上往下移動的變化（轉移方程）。

來一道題感受一下：

CF1187E Tree Painting

題意：給定一棵所有結點初始爲白色的樹，第一回合選擇任意一個白點塗黑，接下來每次都選和黑點鄰接的白點塗黑，每次（包括第一次）選點時會獲得這個點所在的白點連通塊大小的分數，求可能獲得的最大分數。

這就是換根法的直接應用了。第一個塗黑的點就相當於選一個根，然後沿着根往下走。假設以$1$爲根，$s[i]$表示$i$的子樹大小，$1$爲根時的答案$ans_1$即爲$\sum_{i=1}^ns[i]$。當根由$u$變爲$v$時，$ans_v=ans_u-s[v]+(s[1]-s[v])=ans_u-2*s[v]-s[1]$。$ans_i$的最大值就是答案。

#include <bits/stdc++.h>
#define N 200010
#define ll long long
using namespace std;
int n;
vector<int> G[N];
ll sum[N],ans,s;
void dfs1(int u,int fa)
{
    for(int v:G[u])
        if(v!=fa)
        {
            dfs1(v,u);
            sum[u]=sum[v]+1;
        }
    s+=sum[u];
}
void dfs2(int u,int fa,ll s)
{
    ans=max(ans,s);
    for(int v:G[u])
        if(v!=fa)
            dfs2(v,u,s-2LL*sum[v]+sum[1]);
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=1,u,v;i<n;i++)
    {
        cin>>u>>v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs1(1,0);
    dfs2(1,0,s);
    cout<<ans;
}

睡眠時間不夠，ddl到了作業也沒做，導致這次寫的比較倉促，內容也不是很詳盡，還好算法並不複雜。明、後兩天準備寫一寫數論基礎，尤其是數學角度的推理過程（好像我也不怎麼擅長這些）。