Hile每日算法-4.23-左偏樹

左偏樹

咕咕咕

好久沒寫博客了，之前堅持三天就鴿了證明自己一個月啥都沒學，以後還是要寫的。

以下內容參考了大佬的博客和luoguP3377的題解區，%%%。

堆，這個肯定都知道。“不就是優先隊列嗎”，本來一直保持着這樣的想法，直到前幾天幫室友驗一道給數據結構基礎課出的題時，突然發現自己連個堆都實現不來（這就是不聽課的後果）有一說一真的菜b，於是爲了偷懶（？學了一個神奇的數據結構——左偏樹。

首先，我們知道堆的兩個性質：

[1].堆是一棵完全二叉樹

[2].堆上各結點的值從根往下具有單調性（此處指非嚴格單調性即可以相等，下同）

由此，我們可以得到一些結論：

[3].設結點數量爲$n$的堆的最大深度爲$d$，由[1]得$2^d\le2^{log_2n+1}$，深度最大爲$log_2n+1$

[4].由[2]&[3]得，要將根節點調整爲最值，最多從根開始遍歷一整條鏈。因此往堆中增刪根結點，調整堆的時間複雜度是$O(logn)$

所以，我們就獲得了一個$O(logn)$時間動態求最值的數據結構。

但是，更進一步，如果要求合併兩個大頂堆，該怎麼做呢？

這題我會暴力啊 顯然，如果操作數和$n$差不多的話，暴力就會導致$O(n^2logn)$的整體複雜度，這時就應該換個數據結構了。

左偏樹（Leftist Tree/Leftist Heap）

在說左偏樹之前，我們需要定義一個變量$dis_i$，其定義爲$i$結點和最近空結點的距離$-1$，當$i$爲空結點時$dis_i=-1$，正是由於$dis$的存在，我們才能保證左偏樹的效率。

首先，仿照堆，我們也說說左偏樹的性質：

[1].對於左偏樹上的所有結點，都存在$dis_{ls}\ge dis_{rs}$，其中$ls,rs$分別指當前點的左右子結點

[2].左偏樹上各結點的值和$dis$從根往下具有單調性

類比上面對堆的描述，我們也可以得到一些結論：

[3].由[1]&[2]得，對於每一個結點總存在$dis_i=dis_{rs}+1$，其中$rs$爲$i$的右孩子。

[4].設結點數量爲$n$的左偏樹的**根節點的$dis$**爲$d$，由[1]&[3]得$2^{d+1}\le n+1$，$d$最大爲$log_2(n+1)-1$

在上面的性質和結論的基礎上，我們就可以進行核心的合併操作了：

設有兩棵根節點爲最小值的左偏樹$a$和$b$，$v_i$表示$i$結點的值，$r_i$表示$i$結點的右孩子，假設$v_a\le v_b$。

由[3]&[4]，我們可以知道一棵$n$個結點的左偏樹最多有$logn$條的從根一直往右的邊（下稱爲右向邊），從而可以在$O(logn)$的時間內在右向邊上找到一個$v_a\le v_i\le v_b\le v_{r_i}$，所以可以不影響左偏性地將$b$插入到$i$和$r_i$之間，隨後從$b$開始往$a$更新$dis$，同時判斷是否存在不滿足[3]的情況，若存在則交換當前結點的左右子樹。

於是就愉快地結束啦！什麼？你問怎麼刪除堆頂？

沒問題呀，左偏樹的子樹都具有左偏性質，去掉堆頂就相當於把原來的根的兩棵子樹重新合併，直接把之前的根重置後merge就好了。

（圖片來源：洛谷）

那就趁熱來一……道例題吧！

hdu1512 Monkey King

題意大致是，初始有$n$個互不認識的猴子，每個猴子都有一個戰鬥力，他們會打$m$場架，每場架的雙方爲$a$和$b$，雙方會找各自的朋友中戰鬥力最高的那個（可能是他自己）來打架，之後雙方打了架的猴子元氣大傷戰力減半，然後兩方猴成爲了朋友（不打不相識？，對於每個$a$和$b$，若雙方已經爲朋友則輸出$-1$，否則輸出打完架之後，這一幫猴子中最高的戰鬥力。

這就是左偏樹模板題了（雖然二項堆/斐波那契堆/配對堆好像也能做，不過我太菜了還不會），初始有$n$個大頂堆，每次打架取出兩堆頂，減半後放入原堆並把兩個堆合二爲一併用並查集維護朋友關係。左偏樹寫起來就很簡單，來回merge一下就ac啦，單組數據時間複雜度$O(mlogn)$。

AC代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100010
using namespace std;
int n;
struct LeftTree
{
    int d,v,l,r,f;//分別代表dis,value,leftson,rightson,father
}lt[N];
void init(int n)//多組數據初始化
{
    for(int i=1;i<=n;i++)lt[i].f=i,lt[i].l=lt[i].r=lt[i].v=lt[i].d=0;
}
int find(int x)//並查集
{
    return (x^lt[x].f)?lt[x].f=find(lt[x].f):x;
}
int merge(int x,int y,int rt=0)//返回新堆的根
{
    if(!x||!y){lt[x+y].f=rt?rt:x+y;return x+y;}
    if(lt[x].v<lt[y].v)swap(x,y);//大頂堆
    lt[x].f=rt?rt:rt=x;//更新父結點（根）
    lt[x].r=merge(lt[x].r,y,rt);//遞歸右子樹
    if(lt[lt[x].l].d<lt[lt[x].r].d)swap(lt[x].l,lt[x].r);//調整左右結點dis
    lt[x].d=lt[lt[x].r].d+1;
    return x;
}
int m,x,y;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    while(cin>>n)
    {
        init(n);
        for(int i=1;i<=n;i++)cin>>lt[i].v;
        cin>>m;
        while(m--)
        {
            cin>>x>>y;
            int a=find(x),b=find(y),c,d,e;
            if(a==b)
            {
                cout<<-1<<"\n";
                continue;
            }
            lt[a].v>>=1;lt[b].v>>=1;
            //注意取出堆頂之後要將左右孩子置空，不然會出現兩結點互爲父親的情況
            c=merge(lt[a].l,lt[a].r);lt[a].l=lt[a].r=0;
            d=merge(lt[b].l,lt[b].r);lt[b].l=lt[b].r=0;
            a=merge(a,c);b=merge(b,d);//放回減半的結點
            e=merge(a,b);//合併兩棵樹
            cout<<lt[e].v<<'\n';
        }
    }
}

P.S：一直有個疑問，樹上的“結點”和“節點”應該用哪個，還是說哪個都可以嗎直接說node不香嗎