凸優化筆記——2.凸函數

目錄

1.前言

發現完全整理的話，工作量太大，就先整理一個精簡的需要注意的點吧。。。（dbq

2.定義

1. 區分凸函數/嚴格凸函數/擬凸函數/對數凸函數。
   對數凸函數在處理隨機變量的時候可以用到
2. 凸函數的一階條件/二階條件
3. 詹森不等式（基本/擴展）
4. 典型例子：對數指數和/幾何平均

3. 保凸運算

1. 定義
2. 二階條件
3. 簡單凸函數通過保凸運算組合，
   具體包括：
   1）非負加權求和
   2）複合仿射函數
   3）逐點最大和上確界
   4）複合
   5）最小化（對比上確界的形式）
   6）透視函數

4. 共軛函數

$f^*(y) = \mathrm{sup}_{x\in dom\ f}(y^Tx-f(x))$
性質：必然是凸函數。
這個性質很重要，在拉格朗日對偶函數那裏會用到。