藍橋杯算法題解 歷屆試題 帶分數

題目描述

問題描述
100 可以表示爲帶分數的形式：100 = 3 + 69258 / 714。
還可以表示爲：100 = 82 + 3546 / 197。
注意特徵：帶分數中，數字1~9分別出現且只出現一次（不包含0）。
類似這樣的帶分數，100 有 11 種表示法。

輸入格式
從標準輸入讀入一個正整數N (N<1000*1000)
輸出格式
程序輸出該數字用數碼1~9不重複不遺漏地組成帶分數表示的全部種數。
注意：不要求輸出每個表示，只統計有多少表示法！
樣例輸入1
100
樣例輸出1
11
樣例輸入2
105
樣例輸出2
6

題解：

這道題就是枚舉就完事了，把1~9所有的組合都枚舉出來（可以使用next_permutation()函數，也可以自己手寫全排列函數）**，然後判斷能否組成正整數N **（也就是比如枚舉出了一個排列，然後就在上面加’+‘和’/'號，看能不能等於N），但是會發現操作起來很麻煩和會超時。所以就要用到剪枝的技巧了：式子：num1 + num2 / num3
1. num1（取的第一個數），如果num1>=N了，那麼後面的肯定不會是0，說明組不成N，就直接break出來。
2. num2必須比num3要大，因爲num2/num3是大於1的整數，首先要保證num2的位數要>=num3，相當於總共有9位，然後num1取走了i位，那麼還剩下9-i位，num2從i至少需要取到i+(9-i)/2的位置。
**對於第二個舉個例子，**比如123456789，num1=123，那麼num2至少要是456，因爲要保證位數不能比num3少，但是也要注意當num1=1234的時候，num2初始就是56了，因爲i=4，i+(9-i)/2=4+5/2=6，從6開始取。
3. 第二步不一定可以判斷出num2>=num3，在第三步還需要加上num2>=num3，其次還要num2%num3==0，最後纔是num1 + num2 / num3。
**注意：**要是第二個剪枝看不懂可以不用加，一樣可以通過。

代碼：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <deque>
#include <list>
#include <utility>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <iterator>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll  INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double PI = acos(-1.0);
const double E = exp(1.0);
const int MOD = 1e9+7;
const int MAX = 1e5+5;

int N;
int a[9+5] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9};
int vis[9+5] = {0};
int sum = 0;

int func(int i,int j)// 計算數組a，i~j組成的數字
{
    int sum = 0;
    for(int k = i; k < j; k++)
    {
        sum = sum*10 + a[k];
    }
    return sum;
}

// 手寫全排列算法
void func2()// 根據dfs求出的全排列來判斷是否能夠組成帶分數
{
    for(int i = 1; i <= 9; i++)
    {
        int num1 = func(0,i);
        if(num1 >= N)// 剪枝1：如果第一個數>=N，說明再往後面肯定也是>N
        {
            break;
        }
        for(int j = i + (9-i)/2; j <= 8; j++)// 剪枝2：num2必須要>=num3，所以至少數的個數要相等
        {
            int num2 = func(i,j);
            int num3 = func(j,9);
            // 剪枝3：num2必須要>=num3，num2必須能整除num3，然後就是符合題目的要求
            if(num2 >= num3 && num2%num3 == 0 && num1+num2/num3 == N)
            {
                sum++;
            }
        }
    }
}

void dfs(int i)
{
    if(i == 9)
    {
        func2();
        return;
    }
    for(int j = 1; j <= 9; j++)
    {
        if(!vis[j])
        {
            vis[j] = true;
            a[i] = j;
            dfs(i+1);
            vis[j] = false;
        }
    }
}

int main()
{
    /*
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    */
    cin >> N;
    /* 方法1：庫裏面的全排列函數
    do
    {
        for(int i = 1; i <= 9; i++)
        {
            int num1 = func(0,i);
            if(num1 >= N)// 剪枝1：如果第一個數>=N，說明再往後面肯定也是>N
            {
                break;
            }
            for(int j = i + (9-i)/2; j <= 8; j++)// 剪枝2：num2必須要>=num3，所以至少數的個數要相等
            {
                int num2 = func(i,j);
                int num3 = func(j,9);
                // 剪枝3：num2必須要>=num3，num2必須能整除num3，然後就是符合題目的要求
                if(num2 >= num3 && num2%num3 == 0 && num1+num2/num3 == N)
                {
                    sum++;
                }
            }
        }
    }while(next_permutation(a,a+9));*/

    /* 方法2：手寫全排列函數 */
    dfs(0);

    cout << sum << endl;
    return 0;
}