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集合中的三種關係
等價關係：設R爲定義在集合A上的關係，若R是自反的，對稱的，傳遞的，則R稱爲等價關係
相容關係：設R爲定義在集合A上的關係，若R是自反的和對稱的，則R稱爲等價關係
序關係（偏序關係）：設A是一個集合，若A上的關係R是自反的，反對稱的，傳遞的，則R是A上的偏序關係
等價關係舉例
等價關係可以簡單理解成我們實數集上的等於關係，等於關係應該算等價關係的子集。
當然，離散數學中也對等價關係做了抽象，比如實數集上的同餘模k關係。
再抽象一點，比如通信基站之間的通信關係，通信基站A可以和自己通信（類似於我們在調試的時候在地址欄輸入localhost迴環地址）【自反性】，基站A可以和相鄰的基站B通信，那麼基站B也能和基站A通信（正常情況下）【對稱性】，基站A可以和基站B通信，基站B可以和基站C通信，那麼基站A通過B的中轉也能和基站C通信（同樣是正常情況下）【傳遞性】。
相容關係舉例
集合A={cat, teacher, cold, desk, knife, by}
定義關係r = {<x, y> | x, y∈A 且 x和y有相同的字母}
那麼r是一個相容關係。
自己和自己有相同的字母【自反性】，如果A和B有相同的字母，那麼B和A也有相同的字母【對稱性】
偏序關係舉例
設A是正整數m=12的因子集合，設≤爲整除關係，求COVA
A = {1， 2， 3， 4， 6， 12}
“≤” = {<1, 2>, <1,3>, <1,4>, <1,6>, <1,12>, <2,4>, <2, 6>, <2, 12>, <3, 6>, <3, 12>, <4, 12>, <6, 12>, <1, 1>, <2,2>, <3, 3>, <4, 4>, <6,6>, <12, 12>}
在求覆蓋集之前我先說一下爲什麼求覆蓋集，可以說求覆蓋集是畫哈斯圖的準備工作。由於偏序關係具有反對稱性，所以哈斯圖可以用無向圖來表示偏序關係，又由於偏序關係的傳遞性，所以我們在畫哈斯圖的時候可以不用畫多餘的傳遞邊，這些傳遞邊的消去就是覆蓋集的工作內容
COVA = {<1,2>, <1,3>, <2,4>, <2,6>, <3,6>, <4,12>, <6,12>}
哈斯圖如下
等價類的定義
設R爲集合A上的等價關係，對任何a∈A，集合 [a]R={x | x∈A， aRx} 稱爲元素a形成的R的等價類
由於等價關係滿足對稱性，所以也可以將定義寫成 [a]R={x | x∈A， xRa}
等價關係與等價類的例題
例題一：設I爲整數集，R={<x, y> | x mod y=k}，證明R是等價關係
證明： 對於任意 a，b，c∈I，有
1）因爲 a-a = k*0， 所以 <a, a>∈R，R滿足自反性
2）假設 a mod b = k，即有 a-b=kt ， 那麼 b-a=-kt ， 所以<b, a>∈R， R滿足對稱性
3）假設a mod b = k 且 b mod c = k，即 a-b=kt， b-c=ks，那麼有 a-b+b-c=k(t+s) ，即 <a, c>∈R， R滿足傳遞性
綜上所述，得證R是等價關係
例題二：設關係R爲整數集I上的模3同餘關係，求R的等價類
解：由例題一已經得證R是等價關係，對於模3同餘關係，一共有三個等價類
[0]R = {... , -6, -3, 0, 3, 6, ...}
[1]R = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}
[2]R = {..., -4, -1, 2, 5, 8, ...}
例題三：求證給定集合A上的等價關係R，對於a，b∈A，有aRb，當且僅當 [a]R=[b]R
證明：假設 [a]R=[b]R，因爲 a∈[a]R, 所以a∈[b]R, 即有aRb
反之，若 aRb，則有 c∈[a]R => aRc => cRa => cRb => c∈[b]R
所以有 [a]R 包含於 [b]R,
同理可證 [b]R 包含於 [a]R
所以有 [a]R=[b]R
得證
商集的定義
對於集合A上的等價關係R，其等價類的集合稱爲商集，比如例題二中的商集 I/R={ [0]R, [1]R, [2]R }