λ演算簡介及coq實現λ演算
離散數學開課後感覺很多東西需要更深探索，老師也教授了一些coq證明系統的內容，感覺λ演算不太好理解，打算用這種方式加深自己的理解，第一篇博客，內容來自對網上一些解釋和老師講解內容的理解，隨後會推出自然推理系統和coq證明系統的基本使用方法。這裏的內容不會涉及很深的東西，如果以後有精力會盡量加深解讀。（藉助的一些資料會在文末貼鏈接）
什麼是λ演算
思想起源：證明過程機械化（比如圖靈機），讓一切事物都能通過機械的既定理論得以證明（貌似非常不可思議，但是現在很多領域以這種思想爲基礎派生出許多有趣的事物，讓人不得不欽佩當時圖靈一代人的創新思維）
實現目標：利用形式語言推算出大量定理（類似人工智能）
- λ演算是一種形式系統 ，相當於數學中利用符號描述世界的思想；
- 函數式編程，如果不明白其表達式的含義時，會覺得非常複雜，如：(λ x.x+2) 2.實際上這就是通過代入的方法計算2+2，λ演算規則很有限也很簡單，但是卻可以實現大部分的可計算問題。
λ的文法（語法和符號表示規則）
- 主導思想：
(1) everything is function.
(2) every function must be anonymous. - 歸納定義:
(1) x,y,z,plus…(一些String），稱爲λ項
(2) M N :application(M(N)),M,N是定義好的項，運算順序是左結合
(3) λx.M:函數定義 anonymous. - 基本結構：λ<變量>.<表達式>(注意不要忽略**.**）
(1).這種結構明確地表示了函數關係，如：f(x)=x,能明確知道y是x的函數，若表示成y=x,可能會認爲y是x+1的函數（y=(x+1)-1);
(2).需要計算具體的值時，只需將常量放在括號外：(λx.x+2)2，其中（x+2）相當於是函數的返回值
(3).涉及到多個變量，需要按順序進行傳遞（感覺很像高級編程語言裏形參和實參的單向傳遞）如：((λx.λy.2*x+y)1)2)代表x=1，y=2. - coq中的λ演算：λx.M<=>fun x =>M
一些coq代碼實例：
Coq < Compute (fun x=>x+2)2.
= 4
: nat
Coq < Compute (fun x=>plus x 2)2.
= 4
: nat
- 一些函數實例
（1）high order function：succ運算（見下一節）
有關λ表達式的一些運算
- complete binding:
在（λx.x+y）中，x是binding的，y是free的（類似於全稱量詞中的free和bound） - 運算的兩條基本法則 Alpha和Beta
（1）alpha轉換：改變函數參數名稱，同時修改函數體內對它的自由引用
（2）beta規約：將標識符代入函數的參數中，但不能影響約束性
如：(λx.x+2)2 ，將2代入x的過程就是規約
（λx.x+2)(x+2)，這裏x+2是free，不受λx的約束，需要先使用換名，再進行代入
如不換名：計算結果：x+x+2
如換名：（λx.x+2)(x+2)變爲（λx.x+2)(y+2)，計算結果爲：y+x+2 - 一些數字運算
(1) 在介紹利用lambda演算進行計算之前，先引入些syntactic sugar命名函數
全局函數：使用let表達式
lambda文法表達：
let m=lambda x.x^2
命名了一個名爲“m”的全局函數，如果計算"m 2",返回結果是4
coq代碼表示：
Compute let m:=fun x=>x+2 in m 3.
（2）數字的表示
前面我們說明了lambda演算中一切都是函數，那麼數字也是通過函數定義的。稱爲函數的數字化（“Church Numerals")
coq中的自然數定義
3=S(S(S(O)))
0=O
lambda演算中的自然數定義
z相當於對零值的命名
0<=>λs.λz.z
1<=>λs.λz.s(z)
2<=>λs.λz.s(s(z))
…
coq代碼實例：
Definition compose := fun (f: nat -> nat)
=> fun (g : nat -> nat)
=> fun x => g (f x).
Check compose.
Compute compose S S 0.
Compute compose (plus 2) (plus 3) 3.
Compute compose (fun x => x + 3) (plus 2) 4.
(*sugar:fun x move to the left*)
Definition compose' (f: nat -> nat) (g: nat -> nat) x := g (f x).
(*coq:type can be argument*)
Definition compose'' {A B C : Set} (f: A -> B) (g : B ->C) (x:A) :=
g ( f x).
Check compose''.
Compute compose S S 2.
①加法的實現
如果我們要實現加法，實際上需要四個參數：兩個加數，s和z。
那麼我們要實現兩個步驟：
a.接受兩個參數
b.正則化（即將參數表示爲s,z的組合形式）
（這裏我還沒有充分理解，隨後可能發文進行解釋，此處先略去加法定義）
- 布爾運算和選擇分支
形式化λ演算系統和計算（使用coq）
由於coq的基本知識還沒學完，這部分簡單略過，後期可能進行補充
- λ項的定義
- 符號化
- 運算的定義
先這些吧…感覺寫的有點亂，主要是老師講的越來越聽不懂了
拓展資料：church coding
參考資料：GitHub上關於lambda演算的講解