佳佳的斐波那契-----------------------------數論(矩陣快速冪)

佳佳對數學，尤其對數列十分感興趣。

在研究完 Fibonacci 數列後，他創造出許多稀奇古怪的數列。

例如用 S(n) 表示 Fibonacci 前 n 項和 modm 的值，即 S(n)=(F1+F2+…+Fn)modm，其中 F1=F2=1,Fi=Fi−1+Fi−2。

可這對佳佳來說還是小菜一碟。

終於，她找到了一個自己解決不了的問題。

用 T(n)=(F1+2F2+3F3+…+nFn)modm 表示 Fibonacci 數列前 n 項變形後的和 modm 的值。

現在佳佳告訴你了一個 n 和 m，請求出 T(n) 的值。

輸入格式
共一行，包含兩個整數 n 和 m。

輸出格式
共一行，輸出 T(n) 的值。

數據範圍
1≤n,m≤231−1
輸入樣例：
5 5
輸出樣例：
1
樣例解釋
T(5)=(1+2×1+3×2+4×3+5×5)mod5=1

解析:
F_n = $\begin{bmatrix}fn & fn+1 &Sn & Pn\end{bmatrix}$
F_n+1 = $\begin{bmatrix}fn+1 & fn+2 & Sn+1 & Pn+1\end{bmatrix}$

設P_n=nS_n-T_n
T_n =nS_n-P_n
P_n+1 = (n+1)S_n+1-T_n+1

$\begin{bmatrix}fn & fn+1 &Sn & Pn\end{bmatrix}$ * $\begin{bmatrix}0 & 1& 0 & 0\\1 & 1 &1 & 0\\0 & 0 & 1 &1\\0 &0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

= $\begin{bmatrix}fn+1 & fn+2 & Sn+1 & Pn+1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1 & 1 &1& 0\end{bmatrix}$ * $\begin{bmatrix}0 & 1& 0 & 0\\1 & 1 &1 & 0\\0 & 0 & 1 &1\\0 &0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ ^(n-1)

= $\begin{bmatrix}fn+1 & fn+2 & Sn+1 & Pn+1\end{bmatrix}$

因爲我們求出的是P_n，所以最終答案T_n=n*S_n-P_n

 #include<bits/stdc++.h >
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 ll n, MOD;
 struct lxw
 {
 	ll res[4][4];
 }base,node;
 lxw multi(lxw a,lxw b)
 {
 	lxw tmp;
 	memset(tmp.res,0,sizeof tmp.res);
 	for(int i=0;i<4;i++)
 		for(int j=0;j<4;j++)
 			for(int k=0;k<4;k++)
			 tmp.res[i][j]=(tmp.res[i][j]+a.res[i][k]*b.res[k][j])%MOD;
	return tmp;
 }
 int main()
 {
 	cin>>n>>MOD;
 	ll x=n;
 	node.res[0][0]=1;node.res[0][1]=1;node.res[0][2]=1;
 	base.res[0][1]=base.res[1][0]=base.res[1][1]=base.res[1][2]=base.res[2][2]=base.res[2][3]=base.res[3][3]=1;
 	n=n-1;
 	while(n)
 	{
 		if(n&1) node=multi(node,base);
 		base=multi(base,base);
 		n>>=1;
	 }
	 cout<<((x*node.res[0][2]-node.res[0][3])%MOD+MOD)%MOD<<endl;
 }