P1886 滑動窗口 /【模板】單調隊列 題解

博客園同步

原題鏈接

簡要題意：

給定一個數組，求所有連續 $m$ 個數的最大值和最小值。

首先，對於這種題目，用 $5+$ 種方法（至少），這裏介紹幾種吧。

算法一

根據 $\texttt{RMQ}$ 算法解決問題。

用 $f_{i,j}$ 表示從 $i$ 開始往後 $2^j$ 個的最大值。（$2^j > n$ 則視爲 $n$）

那麼，顯然有：

$f_{i,j} = \begin{cases} a_i , j=0 \\ f_{f_{i,j-1},j-1} , j \not = 0 \\ \end{cases}$

其中，$f_{i,j-1}$ 即往後先走 $2^{j-1}$ 個， 再走 $2^{j-1}$ 個，類似於 倍增 算法。

然後，預處理 $\log$，即可 $O(n \log n)$ 初始化，$O(1)$ 回答。

時間複雜度：$O(n \log n + k)$.

期望得分：$50pts$ ~ $100pts$.（取決於程序常數，聽說這道題目 卡任何帶 $\log$ 的算法，不知道能不能卡過去）

算法二

分塊，本題效率最慢的算法。

請不要輕看它，不信？ 還有這個貼

顯然，分成 $\sqrt{n}$ 塊，對每塊分別計算，對於 $n-k+1$ 個塊分別詢問。

時間複雜度：$O((n-k+1) \sqrt{n})$， 如果是極限數據 $n=10^6$，$k=1$ 就直接卡掉了。（$k$ 很小就可以）

期望得分：$50pts$ ~ $100pts$.

實際得分：$92pts$.（有人實測過，卡常得高分）

算法三

線段樹，在分塊與 $\text{RMQ}$ 之間。

這題的算法上有線段樹但是過不了。。。

不用說了吧，模板在此.

時間複雜度：$O(n \log n + k \log n)$. （顯然被卡超時，不過：）

期望得分：$50pts$ ~ $100pts$.

實際得分：$92pts$.（真·卡常大法好）

算法四

指令集。？？？

洛穀日報——指令集

學習完之後，相信你能隨便用一個數據結構（甚至是暴力？？？）切掉本題！

時間複雜度：$O(n^2)$ ~ $O(n \log n + k \log n)$ ~ $O(n \log n + k)$.

期望得分：$100pts$.

實際得分：$92pts$ ~ $100pts$.（衆所周知數據加強過一次，要是加強之前交沒準就過了，不然沒準被卡）

算法五

扯了這麼多。。終於到正題了！

單調隊列 爲什麼叫這麼名字，它不是白叫的好吧 像平衡樹要是不平衡那要它幹麼呢 。

假設，現在一個君王他叫做 $CCF$（$CCF = \text{Centre Code Forces}$），有 $8$ 名選手，她們（對，就是她）的才華值分別爲：

1 3 -1 -3 5 3 6 7

她們從左往右依次是：zhk,yy,kkk,bfw,gyx,cz,wxq,rxz.

然後，他們參加 $CCF$ 比賽的年齡分別爲 $8$ ~ $1$ 歲。（嗯？沒錯）

$CCF$ 有一個 怪癖：只要一個選手參加 $CCF$ 比賽超過 $3$ 年，她（？）就覺得該選手沒有潛力了。

• zhk 在 $8$ 歲的時候進入了，他發現沒有一個人比他更厲害，所以他留下來了。

• yy 在 $7$ 歲的時候也進入了 $CCF$ 比賽，並把 zhk 踢下去，因爲 $3>1$. zhk 想：他比我小還比我強，我退役吧，然後就退役了。

• kkk 在 $6$ 歲時一來，發現被 yy 吊打了（$3 > -1$），但是他想：你比我強，但是我比你小，我更有潛力，我活的比你久，沒準等你退役我就是老大！ 於是留了下來。然後，$\text{CCF Round 1}$ 冠軍產生：yy.

• bfw 一看：嗯？怎麼前面的人都比我強啊？事實 然後他覺得，自己留下來的時間更久，等她們都退役再說。 於是留了下來。$\text{CCF Round 2}$ 冠軍產生：yy.

• gyx 來了之後，他發現自己是最強的 $5>3$，然後所有的人（除了她）都覺得 有人比我小還比我強，集體退役。yy 又遭到 $CCF$ 的潛力質疑，精神病發作了。$\text{CCF Round 3}$ 冠軍產生：gyx.

• cz 來了之後，嗯發現自己是最弱的，但是她想： CCF質疑 gyx 比我前，所以我比她活得長！活得長就是報仇，所以要留下來！$\text{CCF Round 4}$ 冠軍產生：gyx.

• wxq 一到，瞬間 吊打集訓隊，吊打全場然後 gyx 和 cz 一起退役了。$\text{CCF Round 5}$ 冠軍產生：wxq.

• 最後 rxz 到了，結束了 wxq 的 $CCF$ 生涯，把她弄自閉然後滾出集訓隊了。（我纔不會告訴你 rxz 就是 $CCF$ 出題人） $\text{CCF Round 6}$ 冠軍產生：rxz.

若干年過去了，$\text{CCF}$ 決定：分數越低的人得獎越高，那些強者實在弱不下來，於是又開始了第二場 互逼退役 的旅程。。

綜上可見，單調隊列的過程本質就是一個維護隊列的過程，參加 $CCF$ 則入隊，退役則出隊。

顯然，如果用系統的 $\text{queue}$ 寫會多出一個 $\log$，然後變成 $O(n \log n)$ 級別，淪爲和上述數據結構一樣的。（智商不夠，數據結構來湊）

所以今天我們用 手寫隊列，用 $l,r$ 指針維護當前在隊列中的元素。

時間複雜度：$O(n + k )$.

實際得分：$100pts$.

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+1;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int n,m,a[N];
int q[N],p[N]; //q[i] 記錄數值 , p[i] 記錄編號

int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
//	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",a[i]); puts("");
	int l=1,r=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		while(l<=r && q[r]>=a[i]) r--; //新來的人先吊打掉一波
		q[++r]=a[i]; p[r]=i;
		while(p[l]<=i-m) l++; //被質疑的可以直接退役
//		printf("%d %d\n",l,r);
		if(i>=m) printf("%d ",q[l]);
	} puts(""); l=1;r=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		while(l<=r && q[r]<=a[i]) r--;
		q[++r]=a[i]; p[r]=i;
		while(p[l]<=i-m) l++;
		if(i>=m) printf("%d ",q[l]);
	}  //這邊同理
	return 0;
}