決策單調

四邊形不等式

設 $w(x,y)$ 是定義在整數集合上的二元函數
若對於定義域上的任意整數 $a，b，c，d，$其中 $a\le b\le c\le d$
都有 $w(a,c)+w(b,d) \le w(a,d)+w(b,c)$ 成立
則稱函數 $w$ 滿足四邊形不等式
簡單的說就是 相交小於包含

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定理

若對於定義域上的任意整數 $a,b$，其中 $a<b$，都有
$w(a,b+1)+w(a+1,b)≥w(a,b)+w(a+1,b+1)$
則函數 $w$ 滿足四邊形不等式

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決策單調性

$dp[i] = min(dp[j] + w(j, i))，j \in [0,i)$
若函數 $w$ 滿足四邊形不等式，則 $dp$ 具有決策單調性

注意：若 $dp[i] = max(dp[j] + w(j, i))，j \in [0,i)$
則需滿足定理 $w(a,b+1)+w(a+1,b) \le w(a,b)+w(a+1,b+1)$
也就滿足四邊形不等式 $w(a,c)+w(b,d) \ge w(a,d)+w(b,c)$

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規律

如果 $dp$ 函數沒有 $dp[j]$ 這一項，直接分治 Yet Another Minimization Problem
$w$ 的導函數是常數，也就是原函數爲直線，直接斜率優化

導函數遞增、求最大值（檸檬），或者導函數遞減、求最小值，要用單調棧
導函數遞增、求最小值（詩人小G），或者導函數遞減、求最大值（Lightning Conductor），要用單調隊列

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做法

若用單調隊列，設 $k[tail]$ 表示 $tail$ 與 $tail+1$ 兩點，在 $k[tail]$ 處開始，$tail+1$ 更優
則需要二分 $cal$ 計算 $k[tail]$，注意二分的判斷
入隊時若滿足 k[tail-1]>=cal(q[tail], i) ，則 $q[tail]$ 直接出隊
取最優值時若滿足 k[head]<=i，則 $q[head]$ 直接出隊
根本不需要弄什麼三元組