gcd和擴展歐幾里得exgcd--zhengjun

$\gcd$

定義：求出兩個數的最大公因數。

算法定律：$\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$

證明：

設$\gcd(a,b)=k,a=t_1\times k,b=t_2\times k$

可知，$\gcd(t_1,t_2)=1$，如果還有一個$t$，那麼就可以說明$a,b$還有一個公共素因數$t$，與原意不符。

所以$\gcd(t_2\times k,(t_1\times k)\bmod(t_2\times k))$

$=\gcd(t_2\times k,(t_1\bmod t_2)\times k)$

由於$t_1,t_2$互質，所以$t_2$和$t_1\bmod t_2$互質，所以$\gcd(t_2\times k,(t_1\bmod t_2)\times k)=k$，命題得證

代碼

int gcd(int x,int y){
	if(!y)return x;
	return gcd(y,x%y);
}

擴展歐幾里得,exgcd

定義：求出方程$ax+by=c$的解

爲了使原方程有解，則$\gcd(a,b)|c$，($c$能被$\gcd(x,y)$整除)

證明：反正就是一個裴蜀定理，我就不說了。

然後，只要我求出方程$ax+by=\gcd(a,b)$，就可以求出上面方程了。

當$b=0$時，$x=1,y=0$

當$b\ne0$時，因爲$ax+by=\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)=bx'+a\bmod b\times y'$

所以$ax+by=bx'+a\bmod b\times y'=bx'+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)y'=bx'+ay'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b\times y'=ay'+b(x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y')$

所以，左右$a,b$的係數對應得
$\left\{ \begin{aligned} x=y'\\ y=x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times y' \end{aligned} \right.$
所以代碼就是：

int x,y;
void exgcd(int a,int b,int x,int y){
	if(b==0){x=1;y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
}

謝謝–zhengjun