離散數學——集合論（二）

今天結束集合論的部分，然後再去啃coq，想想剛開學還妄想把MIT的課程跟着看完…希望我欠的東西在期末考試前都能學完吧…
希望小鬼來武漢開演唱會

集合上的運算（續）

無限交和無限並

• 指標集（Index）
  I是一個集合，並且對∀i∈I都有一個集合S_i與之對應，稱這樣的集合爲指標集（相當於是一種函數的映射關係）
  ex：
  I＝N，∀n∈N，都有一個對應的S_n，{x|x∈N∧x⩾n}
  I＝R，∀x∈I，都有一個對應的S=[1/x,∞）
• 通過這種對應關係，我們可以引出無限交和無限並的概念
  拓撲學中就是用無限交對應任意，無限並對應存在定義極限，我們可以用無限交和無限並的概念定義任意和存在，這樣就能用集合描述一階謂詞邏輯（這裏是用無限交代替任意，無限並代替存在，還不是很理解，完全理解後在這裏補充）
  補充（在寫完上面這段話的時候理解了）：
  無限交=∀i(i∈I→x∈Si)
  無限並=∃i(i∈I∧x∈Si)
  ex:
    ∩   {n|n∈N∧n⩾i}=∅
  i∈N
     ∪    [1/x,∞)=(0,∞)
  x∈R
  無限交和無限併產生了很多有意思的現象，只有當指標集是無限集合時，才能產生無限交和無限並
  性質補充：
  
• 集合的程序實現
  C++ STL（在c++學習筆記中會涉及到）
  紅黑樹介紹
  coq中定義無限集合：歸納定義

集合的構造

思想：從空集合出發構造世界

冪集合

• Power Set
  對每個集合S，都存在一個集合，該集合的元素是集合S的子集合，稱之爲S的冪集合，記作℘（S）（或2^s)這代表一種函數關係，每個元素都對應0或1兩種情況，代表有或無

• Property
  ∅∈℘（S）∧S∈℘（S）
  此時通過∅構建出集合{∅}
  -冪集合的基數
  |S|=n，則|℘（S）|=2^n

自然數集合的構造

• coq中自然數的遞歸構造：O S
  | O：歸納基礎
  | S
• 數學中的遞歸構造
  ∅：0
  {∅}：1
  {∅，{∅}}：2
  S(n)=n∪{n}
  
  當人類面對無限時，產生基於有限的聯想

序偶

• Ordered pair
  序偶時兩個元素組成的對象，由第一分量和第二分量組成，如（a，b），集合本身有無序性，所以我們就需要構造一個集合體現ab兩個元素的不等價性
  序偶本質上是一個集合，可以理解爲(a,b)={a,{a,b}},這種表示方法的目的是區別(a,b)和(b,a)
• 序偶不能看成是兩個元素平等地在一個集合中,兩個分量的權重不相等
• (a,b)=(a’,b’),iff a=a’,b=b’

n元組——歸納定義

• 二元組即序偶

• n元組的定義類似於coq中list的定義

• 設(a1,a2,a3,…,an)(n>=2) 是 n 元組,則 n + 1 元組定義爲(a1,a2,a3,…,an,a) ≜((a1,a2,a3,…,an),a)
  注意順序

• 抽象爲高級程序語言中的vector等等

乘積集合

• Definition：叉積 笛卡爾乘積
  A×B={（a,b）|a∈A，b∈B}

-（ A×B）×C≠ A×（B×C）
即使表示結果一樣，但是含義不同

• 性質
  

字符串集合

歸納定義
設已存在一個子母表，其元素稱爲字母，
1 歸納基礎：空串屬於字符串集合
2 歸納條款：a∈字母表並且s∈字符串集合，則（a,s)∈字母表
3 極小性條款
證明樹
字符串集合的元素稱爲詞（word）
生活中的序列：DNA鏈 語言

利用歸納條款進行構造和析構

容斥原理