【程序人生】數據結構雜記（四）

說在前面

個人讀書筆記

二叉樹

樹屬於半線性結構——附加某種約束(比如遍歷)，也可以在樹中的元素之間確定某種線性次序
樹是一種分層結構

樹$T$中所有節點深度的最大值稱作該樹的高度$(height)$，記作$height(T)$。

不難理解，樹的高度總是由其中某一葉節點的深度確定的。特別地，僅含單個節點的樹高度爲$0$，空樹高度爲$-1$。
推而廣之，任一節點$v$所對應子樹$subtree(v)$的高度，亦稱作該節點的高度，記作$height(v)$。特別地，全樹的高度亦即其根節點$r$的高度，$height(T) = height(r)$。

二叉樹的實現

作爲圖的特殊形式，二叉樹的基本組成單元是節點與邊；作爲數據結構，其基本的組成實體是二叉樹節點(binary tree node)，而邊則對應於節點之間的相互引用。

遍歷

二叉樹本身並不具有天然的全局次序，故爲實現遍歷，需通過在各節點與其孩子之間約定某種局部次序，間接地定義某種全局次序。
按慣例左兄弟優先於右兄弟，故若將節點及其孩子分別記作V、L和R，則如下圖所示，局部訪問的次序可有VLR、LVR和LRV三種選擇。根據節點V在其中的訪問次序，三種策略也相應地分別稱作先序遍歷、中序遍歷和後序遍歷

先序遍歷

爲遍歷(子)樹$x$，首先覈對$x$是否爲空。若$x$爲空，則直接退出——其效果相當於遞歸基。
反之，若$x$非空，則按照先序遍歷關於局部次序的定義，優先訪問其根節點$x$；然後，依次深入左子樹和右子樹，遞歸地進行遍歷。

迭代實現先序遍歷

在二叉樹$T$中，從根節點出發沿着左分支一直下行的那條通路(以粗線示意)，稱作最左側通路(leftmost path)。若將沿途節點分別記作$L_k$，$k = 0, 1, 2, ..., d$，則最左側通路終止於沒有左孩子末端節點$L_d$。若這些節點的右孩子和右子樹分別記作$R_k$和$T_k$， $k = 0, 1, 2, ..., d$，則該二叉樹的先序遍歷序列可表示爲：

也就是說，先序遍歷序列可分解爲兩段：
沿最左側通路自頂而下訪問的各節點，以及自底而上遍歷的對應右子樹。
基於對先序遍歷序列的這一理解，可以導出以下迭代式先序遍歷算法。
在全樹以及其中每一棵子樹的根節點處，該算法都首先調用函數VisitAlongLeftBranch()，自頂而下訪問最左側通路沿途的各個節點。這裏也使用了一個輔助棧，逆序記錄最左側通路上的節點，以便確定其對應右子樹自底而上的遍歷次序。

中序遍歷

各節點在中序遍歷序列中的局部次序，與按照有序樹定義所確定的全局左、右次序完全吻合。

迭代版中序遍歷

參照迭代式先序遍歷的思路，再次考查二叉樹$T$的最左側通路，並對其中的節點和子樹標記命名。於是，$T$的中序遍歷序列可表示爲：


在全樹及其中每一棵子樹的根節點處，該算法首先調用函數goAlongLeftBranch()，沿最左側通路自頂而下抵達末端節點$L_d$ 。在此過程中，利用輔助棧逆序地記錄和保存沿途經過的各個節點，以便確定自底而上各段遍歷子序列最終在宏觀上的拼接次序。

中序遍歷序列直接後繼及其定位

這裏，共分兩大類情況。
若當前節點有右孩子，則其直接後繼必然存在，且屬於其右子樹。此時只需轉入右子樹，再沿該子樹的最左側通路朝左下方深入，直到抵達子樹中最靠左(最小)的節點。
反之，若當前節點沒有右子樹，則若其直接後繼存在，必爲該節點的某一祖先，且是將當前節點納入其左子樹的最低祖先。於是首先沿右側通路朝左上方上升，當不能繼續前進時，再朝右上方移動一步即可。
作爲後一情況的特例，出口時s可能爲NULL。這意味着此前沿着右側通路向上的回溯，抵達了樹根。也就是說，當前節點全樹右側通路的終點——它也是中序遍歷的終點，沒有後繼。

迭代版中序遍歷（無需輔助棧）

可見，這裏相當於將原輔助棧替換爲一個標誌位backtrack。每當抵達一個節點，藉助該標誌即可判斷此前是否剛做過一次自下而上的回溯。若不是，則按照中序遍歷的策略優先遍歷左子樹。反之，若剛發生過一次回溯，則意味着當前節點的左子樹已經遍歷完畢(或等效地，左子樹爲空)，於是便可訪問當前節點，然後再深入其右子樹繼續遍歷。
每個節點被訪問之後，都應轉向其在遍歷序列中的直接後繼。按照以上的分析，通過檢查右子樹是否爲空，即可在兩種情況間做出判斷：
該後繼要麼在當前節點的右子樹(若該子樹非空)中，要麼(當右子樹爲空時)是其某一祖先。後一情況即所謂的回溯。請注意，由succ()返回的直接後繼可能是NULL，此時意味着已經遍歷至中序遍歷意義下的末節點，於是遍歷即告完成。

後序遍歷

先序遍歷序列與後序遍歷序列並非簡單的逆序關係。

層次遍歷

在所謂廣度優先遍歷或層次遍歷(level-order traversal)中，確定節點訪問次序的原則可概括爲“先上後下、先左後右”——先訪問樹根，再依次是左孩子、右孩子、左孩子的左孩子、左孩子的右孩子、右孩子的左孩子、右孩子的右孩子、…，依此類推。

當然，有根性和有序性是層次遍歷序列得以明確定義的基礎。正因爲確定了樹根，各節點方可擁有深度這一指標，並進而依此排序；有序性則保證孩子有左、右之別，並依此確定同深度節點之間的次序。
此前介紹的迭代式遍歷，無論先序、中序還是後序遍歷，大多使用了輔助棧，而迭代式層次遍歷則需要使用與棧對稱的隊列結構

示例：

完全二叉樹

葉節點只能出現在最底部的兩層，且最底層葉節點均處於次底層葉節點的左側

滿二叉樹

所有葉節點同處於最底層

結語

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