[CF1278F]Cards

題目

傳送門 to CF

傳送門 to VJ

思路

請參見大佬的博客，大概講的就是：

插敘一個小常識：薛定諤的撲克牌。桌面上的撲克牌在被觀測的一瞬間才被確定，所以某一次觀察只看第一張牌，看到 $Joker$ 的概率自然是 $\frac{1}{m}$ 。

$k$ 次方是難以計算的。我們不如把 $n$ 次查看的結果記錄爲 $a_1,a_2,a_3,\dots,a_n$ ，是 $Joker$ 則爲 $1$ ，否則爲零。現在我們要計算的是 $\left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)^k$

把它看成 $k$ 個多項式相乘，這個式子等價於 $\sum_{x_1,x_2,x_3,\dots,x_k \in[1,n]}a_{x_1}a_{x_2}a_{x_3}\cdots a_{x_k}$

注意 $x_1,x_2,x_3,\dots,x_k$ 不一定是互不相同的。

然後我們就可以直接進行動態規劃了。用 $f(k_0,n_0)$ 表示，目前已經有 $k_0$ 個 $a$ 乘起來，但是不同的 $x$ 只有 $n_0$ 個。形式化地，我們有 $f(k_0,n_0)=\sum_{x_1,x_2,x_3,\dots,x_{k_0}\in[1,n]}^{card\{x_1,x_2,x_3,\dots,x_{k_0}\}=n_0}a_{x_1}a_{x_2}a_{x_3}\cdots a_{x_{k_0}}$

規範一些，兩個條件應該都在 $\Sigma$ 下方，但是我不會換行。$card$ 表示集合內元素數量。這裏的集合當然是不可重集合。

如何進行 $dp$ 轉移呢？只需要考慮添加 $x_{k_0}$ 能否導致 $card$ 增大。求和額外乘上使 $a_{x_{k_0}}=1$ 的 $x_{k_0}$ 的個數就是了。

用數學語言也可以表達。爲了方便寫，我把 $x_1$ 作爲決策對象，而不是上文中的 $x_{k_0}$ 。

$\begin{aligned} f(k_0,n_0)&=\sum_{x_1,x_2,x_3,\dots,x_{k_0}\in[1,n]}^{card\{x_1,x_2,x_3,\dots,x_{k_0}\}=n_0}a_{x_1}a_{x_2}a_{x_3}\cdots a_{x_{k_0}}\\ &=\sum_{x_2,x_3,x_4,\dots,x_{k_0}\in[1,n]}^{card\{x_2,x_3,x_4,\dots,x_{k_0}\}=n_0}a_{x_2}a_{x_3}a_{x_4}\cdots a_{x_{k_0}}\sum_{x_1\in[1,n]}^{x_1\in\{x_2,x_3,x_4,\dots,x_{k_0}\}}a_{x_1}\\ &+\sum_{x_2,x_3,x_4,\dots,x_{k_0}\in[1,n]}^{card\{x_2,x_3,x_4,\dots,x_{k_0}\}=n_0-1}a_{x_2}a_{x_3}a_{x_4}\cdots a_{x_{k_0}}\sum_{x_1\in[1,n]}^{x_1\not\in\{x_2,x_3,x_4,\dots,x_{k_0}\}}a_{x_1} \end{aligned}$

寫成方程式的形式就是 $f(k_0,n_0)=n_0\cdot f(k_0-1,n_0)+[n-(n_0-1)]\cdot f(k_0-1,n_0-1)$

然後算期望怎麼辦？我們得乘上概率。概率是多少啊？——注意到 $a_{x_1},a_{x_2},a_{x_3},\dots,a_{x_k}$ 都會被欽定成 $1$ ，而剩下的 $a$ 是無限制的。所以這個概率爲 $m^{-k}$ 。然後求和即可，$ans=\sum_{x=1}^{k}m^{-x}\cdot f(k,x)$

時間複雜度 $\mathcal O(k^2)$ ，完美的通過了本題。我好菜啊

代碼

邊界條件是 $f(0,0)=1$ ，其餘爲零。表示一個 $a$ 也沒有乘，類似於 $\prod_{i=1}^{0}\cdots$ 的玩意兒。集合當然是 $\text{\O}$ ，大小爲零。

具體代碼肯定不需要我來實現了，因爲我是菜逼。