[CF1278F]Cards

题目

传送门 to CF

传送门 to VJ

思路

请参见大佬的博客，大概讲的就是：

插叙一个小常识：薛定谔的扑克牌。桌面上的扑克牌在被观测的一瞬间才被确定，所以某一次观察只看第一张牌，看到 $Joker$ 的概率自然是 $\frac{1}{m}$ 。

$k$ 次方是难以计算的。我们不如把 $n$ 次查看的结果记录为 $a_1,a_2,a_3,\dots,a_n$ ，是 $Joker$ 则为 $1$ ，否则为零。现在我们要计算的是 $\left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)^k$

把它看成 $k$ 个多项式相乘，这个式子等价于 $\sum_{x_1,x_2,x_3,\dots,x_k \in[1,n]}a_{x_1}a_{x_2}a_{x_3}\cdots a_{x_k}$

注意 $x_1,x_2,x_3,\dots,x_k$ 不一定是互不相同的。

然后我们就可以直接进行动态规划了。用 $f(k_0,n_0)$ 表示，目前已经有 $k_0$ 个 $a$ 乘起来，但是不同的 $x$ 只有 $n_0$ 个。形式化地，我们有 $f(k_0,n_0)=\sum_{x_1,x_2,x_3,\dots,x_{k_0}\in[1,n]}^{card\{x_1,x_2,x_3,\dots,x_{k_0}\}=n_0}a_{x_1}a_{x_2}a_{x_3}\cdots a_{x_{k_0}}$

规范一些，两个条件应该都在 $\Sigma$ 下方，但是我不会换行。$card$ 表示集合内元素数量。这里的集合当然是不可重集合。

如何进行 $dp$ 转移呢？只需要考虑添加 $x_{k_0}$ 能否导致 $card$ 增大。求和额外乘上使 $a_{x_{k_0}}=1$ 的 $x_{k_0}$ 的个数就是了。

用数学语言也可以表达。为了方便写，我把 $x_1$ 作为决策对象，而不是上文中的 $x_{k_0}$ 。

$\begin{aligned} f(k_0,n_0)&=\sum_{x_1,x_2,x_3,\dots,x_{k_0}\in[1,n]}^{card\{x_1,x_2,x_3,\dots,x_{k_0}\}=n_0}a_{x_1}a_{x_2}a_{x_3}\cdots a_{x_{k_0}}\\ &=\sum_{x_2,x_3,x_4,\dots,x_{k_0}\in[1,n]}^{card\{x_2,x_3,x_4,\dots,x_{k_0}\}=n_0}a_{x_2}a_{x_3}a_{x_4}\cdots a_{x_{k_0}}\sum_{x_1\in[1,n]}^{x_1\in\{x_2,x_3,x_4,\dots,x_{k_0}\}}a_{x_1}\\ &+\sum_{x_2,x_3,x_4,\dots,x_{k_0}\in[1,n]}^{card\{x_2,x_3,x_4,\dots,x_{k_0}\}=n_0-1}a_{x_2}a_{x_3}a_{x_4}\cdots a_{x_{k_0}}\sum_{x_1\in[1,n]}^{x_1\not\in\{x_2,x_3,x_4,\dots,x_{k_0}\}}a_{x_1} \end{aligned}$

写成方程式的形式就是 $f(k_0,n_0)=n_0\cdot f(k_0-1,n_0)+[n-(n_0-1)]\cdot f(k_0-1,n_0-1)$

然后算期望怎么办？我们得乘上概率。概率是多少啊？——注意到 $a_{x_1},a_{x_2},a_{x_3},\dots,a_{x_k}$ 都会被钦定成 $1$ ，而剩下的 $a$ 是无限制的。所以这个概率为 $m^{-k}$ 。然后求和即可，$ans=\sum_{x=1}^{k}m^{-x}\cdot f(k,x)$

时间复杂度 $\mathcal O(k^2)$ ，完美的通过了本题。我好菜啊

代码

边界条件是 $f(0,0)=1$ ，其余为零。表示一个 $a$ 也没有乘，类似于 $\prod_{i=1}^{0}\cdots$ 的玩意儿。集合当然是 $\text{\O}$ ，大小为零。

具体代码肯定不需要我来实现了，因为我是菜逼。