2020.05.04日常總結——最小費用最大流略講

$\color{green}{\texttt{最小費用最大流略講}}$

$\color{blue}{\texttt{【定義】：}}$

• 單邊費用：費用是圖中的邊的又一個邊權。我們記爲 $b_{u,v}$，它表示該邊流過的單位流量的花費。什麼叫單位流量的花費？即記流量爲 $f_{u,v}$，則該邊上的費用爲 $f_{u,v} \times b_{u,v}$。

• 全圖費用：整個圖的費用就是所有邊的費用的總和，即（$\texttt{E}$ 爲邊集）：

  $\sum\limits_{u=1}^{n} \sum\limits_{v=1}^{n} f_{u,v} \times b_{u,v} [u \neq v,(u,v) \in \texttt{E}]$

• 算法目標：第一目標是讓總流量最大，第二目標是讓總花費最小。換成人話就是：在總流量最大的前提下讓總花費最小。

$\color{blue}{\texttt{【算法】：}}$

如何解決上面所述的問題呢？

仔細思考一下我們是如何進行 $\texttt{Dinic}$ 算法的。我們使用了一個 bfs 算法算出每個點到起點的距離 $\text{dep}$。然後我們根據 $\text{dep}$ 來保證我們增廣的是最短路。

現在，我們只要把 bfs 算法換成 spfa 算法就可以了。我們只需把 $b$ 作爲花費跑一遍 spfa 算法，然後就做完了。

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$\color{green}{\texttt{代碼精講}}$

• 首先，是整個算法最最重要的部分——spfa 算法。

• 然後是如何更新答案？也很簡單，我們在上面的代碼中維護了兩個非常重要的數組——$pre$ 和 $path$ 數組。它們是什麼意思呢？$pre_u$ 表示在我們求出的最短路中，$u$ 點是從 $pre_u$ 這個點轉移過來的。而 $path_u$ 表示從 $pre_u$ 點順着邊 $path_u$ 轉移到點 $u$。

  我們考慮一下如何利用它們兩個更新我們的數據。很簡單，我們先從 $t$ 順着 $pre$ 一步步爬回 $s$，在爬的過程中，我們就可以求出本條路徑可以容納的最大流量 $d$。然後，我們讓總流量 $\texttt{flow}$ 加上 $d$，同時讓 $\texttt{cost}$ 加上 $dis_t \times d$。爲什麼是加上 $dis_t \times d$？因爲 $dis_t$ 就表示這條路徑上的花費總和。因爲 $d$ 代表這條路徑中所有的邊都通過 $d$ 的流量，所以總花費就增加了 $dis_t \times d$.

  可能有人有這麼一個問題：如何求 $d$？很簡單，這條路徑上所有的邊的容量的最小值便是 $d$ 的值。

• 最後一個問題：如何求出最終的答案。很簡單，反覆做如下事情：

  1. 調用 spfa_init() 函數求最短路。
  2. 調用 updata() 函數更新數據。
  3. 當 spfa_init() 返回 false 時停止，否則回 1 反覆。

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最後，給一道模板題（洛谷 P4016）的代碼給大家：

const int N=110,M=420;
struct edge{
	int next,to,dis,cost;
}e[M<<1];int h[N],tot=1;
void add(int a,int b,int c,int d){
	e[++tot]=(edge){h[a],b,c,d};h[a]=tot;
	e[++tot]=(edge){h[b],a,0,-d};h[b]=tot;
}
int dis[N],pre[N],path[N];bool vis[N];
inline bool spfa_find(int s,int t){
	memset(pre,-1,sizeof(pre));
	memset(dis,127,sizeof(dis));
	memset(vis,true,sizeof(vis));
	queue<int> q;q.push(s);dis[s]=0;
	while (!q.empty()){//開始spfa算法啦 
		int u=q.front();q.pop();vis[u]=true;
		for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
			if (e[i].dis>0){//有更新的意義 
				register int to=e[i].to;
				if (dis[to]>dis[u]+e[i].cost){
					dis[to]=dis[u]+e[i].cost;
					pre[to]=u;//從點u轉移到to 
					path[to]=i;//轉移到to的邊
					if (vis[to]){
						q.push(to);
						vis[to]=false;
					}
				}
			}
	}//spfa求以cost爲邊權的圖的最短路 
	return pre[t]!=-1;//可以做到終點 
}
int ans_cost,ans_flow,n,s,t,a[N],m;
inline void updata(int s,int t){
	register int d=0x3f3f3f3f;
	for(int i=t;i!=s;i=pre[i])
		d=min(d,e[path[i]].dis);
//	求出我們本次可以獲得的最大流量 
	ans_cost+=d*dis[t];//更新花費 
	ans_flow+=d;       //更新流量 
	for(int i=t;i!=s;i=pre[i]){
		e[path[i]].dis-=d;
		e[path[i]^1].dis+=d;
	}//更新邊權（重要勿忘） 
}
inline void calc_mincost_maxflow(){
	while (spfa_find(s,t)) updata(s,t);
}//求最小費用最大流（函數名通過直譯得） 
int main(){
	freopen("t1.in","r",stdin);
	scanf("%d",&n);s=n+1;t=n+2;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		m+=a[i];//m:總和 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]-=m/n;//減去平均數 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if (a[i]>0) add(s,i,a[i],0);
		if (a[i]<0) add(i,t,-a[i],0);
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		add(i+1,i,0x3f3f3f3f,1);
		add(i,i+1,0x3f3f3f3f,1);
	}//注意需要添加雙向邊 
	add(n,1,0x3f3f3f3f,1);
	add(1,n,0x3f3f3f3f,1);
	calc_mincost_maxflow();
	printf("%d",ans_cost);
	return 0;
}