【程序人生】數據結構雜記（六）

說在前面

個人讀書筆記

圖的概念

圖結構是描述和解決實際應用問題的一種基本而有力的工具。

所謂的圖(graph)，可定義爲$G = (V, E)$。其中，集合$V$中的元素稱作頂點(vertex)；集合$E$中的元素分別對應於$V$中的某一對頂點$(u, v)$，表示它們之間存在某種關係，故亦稱作邊(edge)。

一種直觀顯示圖結構的方法是，用小圓圈或小方塊代表頂點，用聯接於其間的直線段或曲線弧表示對應的邊。

從計算的需求出發，我們約定$V$和$E$均爲有限集。

無向圖、有向圖及混合圖

若邊$(u, v)$所對應頂點$u$和$v$的次序無所謂，則稱作無向邊(undirected edge)，例如表示同學關係的邊。
反之若$u$和$v$不對等，則稱$(u, v)$爲有向邊(directed edge)，例如描述企業與銀行之間的借貸關係，或者程序之間的相互調用關係的邊。
如此，無向邊$(u, v)$也可記作$(v, u)$，而有向的$(u, v)$和$(v, u)$則不可混淆。這裏約定，有向邊$(u, v)$從$u$指向$v$，其中$u$稱作該邊的起點(origin)或尾頂點(tail)，而$v$稱作該邊的終點(destination)或頭頂點(head)。

若$E$中各邊均無方向，則$G$稱作無向圖。若$E$中只含有向邊，則$G$稱作有向圖。若$E$同時包含無向邊和有向邊，則$G$稱作混合圖。

相對而言，有向圖的通用性更強，因爲無向圖和混合圖都可轉化爲有向圖：
每條無向邊$(u, v)$都可等效地替換爲對稱的一對有向邊$(u, v)$和$(v, u)$。

度

對於任何邊$e = (u, v)$，稱頂點$u$和$v$彼此鄰接(adjacent)，互爲鄰居；而它們都與邊$e$彼此關聯(incident)。

在無向圖中，與頂點$v$關聯的邊數，稱作$v$的度數(degree)，記作$deg(v)$。
以上圖中無向圖爲例，頂點{ A, B, C, D }的度數爲{ 2, 3, 2, 1 }。

對於有向邊$e = (u, v)$，$e$稱作$u$的出邊(outgoing edge)、$v$的入邊(incoming edge)。$v$的出邊總數稱作其出度(out-degree)，記作$outdeg(v)$；入邊總數稱作其入度(in-degree)，記作$indeg(v)$。
在上圖中的有向圖中，各頂點的出度爲{ 1, 3, 1, 1 }，入度爲{ 2, 1, 2, 1 }。

簡單圖

聯接於同一頂點之間的邊，稱作自環(self-loop)。在某些特定的應用中，這類邊可能的確具有意義——比如在城市交通圖中，沿着某條街道，有可能不需經過任何交叉路口即可直接返回原處。
不含任何自環的圖稱作簡單圖(simple graph)。

通路和環路

所謂路徑或通路(path)，就是由$m + 1$個頂點與$m$條邊交替而成的一個序列，且對任何$0 < i <= m$都有$e_i = (v_{i-1} , v_i )$。也就是說，這些邊依次地首尾相聯。其中沿途邊的總數$m$，亦稱作通路的長度。

儘管通路上的邊必須互異，但頂點卻可能重複。沿途頂點互異的通路，稱作簡單通路

特別地，對於長度$m >= 1$的通路，若起止頂點相同(即$v_0 = v_m$)，則稱作環路(cycle)，其長度也取作沿途邊的總數。同樣，儘管環路上的各邊必須互異，但頂點卻也可能重複。反之，若沿途除$v_0 = v_m$外所有頂點均互異，則稱作簡單環路。

特別地，經過圖中各邊一次且恰好一次的環路，稱作歐拉環路(Eulerian tour)——其長度恰好等於圖中邊的總數。經過圖中各頂點一次且恰好一次的環路，稱作哈密爾頓環路(Hamiltonian tour)。

不含任何環路的有向圖，稱作有向無環圖

帶權網絡

圖不僅需要表示頂點之間是否存在某種關係，有時還需要表示這一關係的具體細節。以鐵路運輸爲例，可以用頂點表示城市，用頂點之間的聯邊表示對應的城市之間是否有客運鐵路聯接；同時，往往還需要記錄各段鐵路的長度、承運能力，以及運輸成本等信息。

爲適應這類應用要求，需通過一個權值函數，爲每一邊$e$指定一個權重(weight)，比如$wt(e)$即爲邊$e$的權重。各邊均帶有權重的圖，稱作帶權圖(weighted graph)或帶權網絡(weightednetwork)，有時也簡稱網絡(network)，記作$G(V, E, wt())$。

圖ADT的實現方法

鄰接矩陣

鄰接矩陣(adjacency matrix)是圖ADT(Abstract Data Type)最基本的實現方式，使用方陣$A[n][n]$表示由$n$個頂點構成的圖，其中每個單元，各自負責描述一對頂點之間可能存在的鄰接關係，故此得名。

對於無權圖，存在(不存在)從頂點$u$到$v$的邊，當且僅當$A[u][v] =1(0)$。上圖中$(a)$和$(b)$即爲無向圖和混合圖的鄰接矩陣實例。

對於帶權網絡，如上圖中$(c)$所示，矩陣各單元可從布爾型改爲整型或浮點型，記錄所對應邊的權重。對於不存在的邊，通常統一取值爲無窮大或0。

鄰接表

以如上圖中$(a)$所示的無向圖爲例，只需將如上圖中$(b)$所示的鄰接矩陣，逐行地轉換爲如上圖中$(c)$所示的一組列表，即可分別記錄各頂點的關聯邊(或等價地，鄰接頂點)。這些列表，也因此稱作鄰接表(adjacency list)。

圖遍歷算法

無論採用何種策略和算法，圖的遍歷都可理解爲，將非線性結構轉化爲半線性結構的過程。

經遍歷而確定的邊類型中，最重要的一類即所謂的樹邊，它們與所有頂點共同構成了原圖的一棵支撐樹(森林)，稱作遍歷樹(traversal tree)。

以遍歷樹爲背景，其餘各種類型的邊，也能提供關於原圖的重要信息，比如其中所含的環路等。

圖中頂點之間可能存在多條通路，故爲避免對頂點的重複訪問，在遍歷的過程中，通常還要動態地設置各頂點不同的狀態，並隨着遍歷的進程不斷地轉換狀態，直至最後的“訪問完畢”。

圖的遍歷更加強調對處於特定狀態頂點的甄別與查找，故也稱作圖搜索(graph search)。

廣度優先搜索

各種圖搜索之間的區別，體現爲邊分類結果的不同，以及所得遍歷樹(森林)的結構差異。
其決定因素在於，搜索過程中的每一步迭代，將依照何種策略來選取下一接受訪問的頂點。

通常，都是選取某個已訪問到的頂點的鄰居。同一頂點所有鄰居之間的優先級，在多數遍歷中不必講究。因此，實質的差異應體現在，當有多個頂點已被訪問到，應該優先從誰的鄰居中選取下一頂點。

比如，廣度優先搜索(breadth-first search, BFS)採用的策略，可概括爲：
越早被訪問到的頂點,其鄰居越優先被選用

於是，始自圖中頂點$s$的BFS搜索，將首先訪問頂點$s$；再依次訪問$s$所有尚未訪問到的鄰居；再按後者被訪問的先後次序，逐個訪問它們的鄰居；…；如此不斷。

在所有已訪問到的頂點中，仍有鄰居尚未訪問者，構成所謂的波峯集(frontier)(用隊列實現)。於是，BFS搜索過程也可等效地理解爲：
反覆從波峯集中找到最早被訪問到頂點v，若其鄰居均已訪問到，則將其逐出波峯集；否則，隨意選出一個尚未訪問到的鄰居，並將其加入到波峯集中。

不難發現，若將上述BFS策略應用於樹結構，則效果等同於層次遍歷。波峯集內頂點的深度始終相差不超過一，且波峯集總是優先在更淺的層次沿廣度方向拓展。

仿照樹的層次遍歷，這裏也藉助隊列$Q$，來保存已被發現，但尚未訪問完畢的頂點。

因此，任何頂點在進入該隊列的同時，都被隨即標記爲DISCOVERED(已發現)狀態。

BFS()的每一步迭代，都先從$Q$中取出當前的首頂點$v$；再逐一覈對其各鄰居$u$的狀態並做相應處理；最後將頂點$v$置爲VISITED(訪問完畢)狀態，即可進入下一步迭代。

若頂點$u$尚處於UNDISCOVERED(未發現)狀態，則令其轉爲DISCOVERED狀態，並隨即加入隊列$Q$。

實際上，每次發現一個這樣的頂點$u$，都意味着遍歷樹可從$v$到$u$拓展一條邊。於是，將邊$(v, u)$標記爲樹邊(tree edge)，並按照遍歷樹中的承襲關係，將$v$記作$u$的父節點。

若頂點$u$已處於DISCOVERED狀態(無向圖)，或者甚至處於VISITED狀態(有向圖)，則意味着邊$(v, u)$不屬於遍歷樹，於是將該邊歸類爲跨邊(cross edge)。

BFS()遍歷結束後，所有訪問過的頂點通過parent[]指針依次聯接，從整體上給出了原圖某一連通或可達域的一棵遍歷樹，稱作廣度優先搜索樹，或簡稱BFS樹(BFS tree)。

實例：
不難看出，BFS(s)將覆蓋起始頂點$s$所屬的連通分量或可達分量，但無法抵達此外的頂點。

而上層主函數bfs()的作用，正在於處理多個連通分量或可達分量並存的情況。具體地，在逐個檢查頂點的過程中，只要發現某一頂點尚未被發現，則意味着其所屬的連通分量或可達分量尚未觸及，故可從該頂點出發再次啓動BFS()，以遍歷其所屬的連通分量或可達分量。

如此，各次BFS()調用所得的BFS樹構成一個森林，稱作BFS森林(BFS forest)。

深度優先搜索

深度優先搜索(Depth-First Search, DFS)選取下一頂點的策略，可概括爲：
優先選取最後一個被訪問到的頂點的鄰居

於是，以頂點$s$爲基點的DFS搜索，將首先訪問頂點$s$；再從$s$所有尚未訪問到的鄰居中任取其一，並以之爲基點，遞歸地執行DFS搜索。

故各頂點被訪問到的次序，類似於樹的先序遍歷；而各頂點被訪問完畢的次序，則類似於樹的後序遍歷。

每一遞歸實例中，都先將當前節點$v$標記爲DISCOVERED(已發現)狀態，再逐一覈對其各鄰居$u$的狀態並做相應處理。待其所有鄰居均已處理完畢之後，將頂點$v$置爲VISITED(訪問完畢)狀態，便可回溯。

若頂點$u$尚處於UNDISCOVERED(未發現)狀態，則將邊$(v, u)$歸類爲樹邊(tree edge)，並將$v$記作$u$的父節點。此後，便可將$u$作爲當前頂點，繼續遞歸地遍歷。

若頂點$u$處於DISCOVERED狀態，則意味着在此處發現一個有向環路。此時，在DFS遍歷樹中$u$必爲$v$的祖先，故應將邊$(v, u)$歸類爲後向邊(back edge)。

這裏爲每個頂點$v$都記錄了被發現的和訪問完成的時刻，對應的時間區間$[dTime(v),fTime(v)]$均稱作$v$的活躍期(active duration)。實際上，任意頂點$v$和$u$之間是否存在祖先/後代的“血緣”關係，完全取決於二者的活躍期是否相互包含。

對於有向圖，頂點$u$還可能處於VISITED狀態。此時，只要比對$v$與$u$的活躍期，即可判定在DFS樹中$v$是否爲$u$的祖先。若是，則邊$(v, u)$應歸類爲前向邊(forward edge)；否則，二者必然來自相互獨立的兩個分支，邊(v, u)應歸類爲跨邊(cross edge)。

DFS(s)返回後，所有訪問過的頂點通過parent[]指針依次聯接，從整體上給出了頂點$s$所屬連通或可達分量的一棵遍歷樹，稱作深度優先搜索樹或DFS樹(DFS tree)。

與BFS搜索一樣，此時若還有其它的連通或可達分量，則可以其中任何頂點爲基點，再次啓動DFS搜索。最終，經各次DFS搜索生成的一系列DFS樹，構成了DFS森林(DFS forest)。

實例：


最終結果如上圖中$(t)$所示，爲包含兩棵DFS樹的一個DFS森林。可以看出，選用不同的起始基點，生成的DFS樹(森林)也可能各異。如本例中，若從D開始搜索，則DFS森林可能如上圖中$(u)$所示。

深度優先搜索的應用——拓撲排序

問題描述：

給定描述某一實際應用(上圖中$(a)$)的有向圖(上圖中$(b)$)，如何在與該圖“相容”的前提下，將所有頂點排成一個線性序列(上圖中$(c)$)。

此處的“相容”，準確的含義是：
每一頂點都不會通過邊，指向其在此序列中的前驅頂點。

這樣的一個線性序列，稱作原有向圖的一個拓撲排序。
同一有向圖的拓撲排序未必唯一，一個有向圖也未必一定存在拓撲排序。
有向無環圖一定存在拓撲排序。

思路一：
任一有向無環圖必包含入度爲零的頂點。否則，每個頂點都至少有一條入邊，意味着要麼頂點有無窮個，要麼包含環路。
於是，只要將入度爲0的頂點$m$(及其關聯邊)從圖$G$中取出,則剩餘的$G'$依然是有向無環圖，故其拓撲排序也必然存在。從遞歸的角度看，一旦得到了$G'$的拓撲排序，只需將$m$作爲最大頂點插入，即可得到$G$的拓撲排序。

思路二：
有向無環圖的DFS搜索過程中各頂點被標記爲VISITED的次序，恰好(按逆序)給出了原圖的一個拓撲排序。

相對於標準的DFS搜索算法，這裏增設了一個棧結構。一旦某個頂點被標記爲VISITED狀態，便隨即令其入棧。如此，當搜索終止時，所有頂點即按照被訪問完畢的次序——亦即拓撲排序的次序-——在棧中自頂而下排列。

最小支撐樹

連通圖$G$的某一無環連通子圖$T$若覆蓋$G$中所有的頂點，則稱作$G$的一棵支撐樹或生成樹(spanning tree)。
就保留原圖中邊的數目而言，支撐樹既是“禁止環路”前提下的極大子圖，也是“保持連通”前提下的最小子圖。在實際應用中，原圖往往對應於由一組可能相互聯接(邊)的成員(頂點)構成的系統，而支撐樹則對應於該系統最經濟的聯接方案。確切地，儘管同一幅圖可能有多棵支撐樹，但由於其中的頂點總數均爲n，故其採用的邊數也均爲n - 1。

若圖$G$爲一帶權網絡，則每一棵支撐樹的成本(cost)即爲其所採用各邊權重的總和。在$G$的所有支撐樹中，成本最低者稱作最小支撐樹(minimum spanning tree, MST)。

儘管同一帶權網絡通常都有多棵支撐樹，但總數畢竟有限，故必有最低的總體成本。然而，總體成本最低的支撐樹卻未必唯一。

Prim算法

假定各邊的權重互異。

圖$G = (V; E)$中，頂點集$V$的任一非平凡子集$U$及其補集V\U都構成$G$的一個割(cut)，記作(U : V\U)。若邊$uv$滿足$u$屬於$U$，且$v$不屬於$U$，則稱作該割的一條跨越邊(crossing edge)。

因此類邊聯接於$V$及其補集之間，故亦形象地稱作該割的一座橋(bridge)。

Prim算法的正確性基於以下事實：
最小支撐樹總是會採用聯接每一割的最短跨越邊。

否則，如上圖$(a)$所示假設$uv$是割(U : V\U)的最短跨越邊，而最小支撐樹$T$並未採用該邊。於是由樹的連通性，如圖$(b)$所示在$T$中必有至少另一跨邊$st$聯接該割(有可能$s = u$或$t =v$，儘管二者不能同時成立)。同樣由樹的連通性，$T$中必有分別聯接於$u$和$s$、$v$和$t$之間的兩條通路。由於樹是極大的無環圖，故倘若將邊$uv$加至$T$中，則如圖$(c)$所示，必然出現穿過$u、v、t$和$s$的唯一環路。接下來，只要再刪除邊$st$，則該環路必然隨之消失。

經過如此的一出一入，若設$T$轉換爲$T'$，則$T$’依然是連通圖，且所含邊數與$T$相同均爲$n - 1$。這就意味着，$T'$也是原圖的一棵支撐樹。就結構而言，$T'$與$T$的差異僅在於邊$uv$和邊$st$，故二者的成本之差就是這兩條邊的權重之差。不難看出，邊$st$的權重必然大於身爲最短跨越邊的$uv$，故$T'$的總成本低於$T$——這與$T$總體權重最小的前提矛盾。

由以上性質，可基於貪心策略（當前看來是最好的選擇）導出一個迭代式算法。

實例：

最短路徑

若以帶權圖來表示真實的通訊、交通、物流或社交網絡，則各邊的權重可能代表信道成本、交通運輸費用或交往程度。此時我們經常關心的一類問題可以概括爲：
給定帶權網絡$G = (V, E)$，以及源點(source)$s$屬於$V$，對於所有的其它頂點$v$，$s$到$v$的最短通路有多長？該通路由哪些邊構成？

設頂點$s$到$v$的最短路徑爲$p$。於是對於該路徑上的任一頂點$u$，若其在$p$上對應的前綴爲$\sigma$，則$\sigma$也必是$s$到$u$的最短路徑(之一)。否則，若從$s$到$u$還有另一嚴格更短的路徑$\tau$，則易見$p$不可能是$s$到$v$的最短路徑。

即便各邊權重互異，從$s$到$v$的最短路徑也未必唯一。
當存在非正權重的邊，並導致某個環路的總權值非正時，最短路徑甚至無從定義。

最短路徑不含任何(有向)迴路。

Dijkstra算法

該算法與Prim算法僅有一處差異：
考慮的是$u_{k+1}$到$s$的距離，而不再是其到$T_k$的距離。

實例：

結語

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