【程序人生】数据结构杂记（六）

说在前面

个人读书笔记

图的概念

图结构是描述和解决实际应用问题的一种基本而有力的工具。

所谓的图(graph)，可定义为$G = (V, E)$。其中，集合$V$中的元素称作顶点(vertex)；集合$E$中的元素分别对应于$V$中的某一对顶点$(u, v)$，表示它们之间存在某种关系，故亦称作边(edge)。

一种直观显示图结构的方法是，用小圆圈或小方块代表顶点，用联接于其间的直线段或曲线弧表示对应的边。

从计算的需求出发，我们约定$V$和$E$均为有限集。

无向图、有向图及混合图

若边$(u, v)$所对应顶点$u$和$v$的次序无所谓，则称作无向边(undirected edge)，例如表示同学关系的边。
反之若$u$和$v$不对等，则称$(u, v)$为有向边(directed edge)，例如描述企业与银行之间的借贷关系，或者程序之间的相互调用关系的边。
如此，无向边$(u, v)$也可记作$(v, u)$，而有向的$(u, v)$和$(v, u)$则不可混淆。这里约定，有向边$(u, v)$从$u$指向$v$，其中$u$称作该边的起点(origin)或尾顶点(tail)，而$v$称作该边的终点(destination)或头顶点(head)。

若$E$中各边均无方向，则$G$称作无向图。若$E$中只含有向边，则$G$称作有向图。若$E$同时包含无向边和有向边，则$G$称作混合图。

相对而言，有向图的通用性更强，因为无向图和混合图都可转化为有向图：
每条无向边$(u, v)$都可等效地替换为对称的一对有向边$(u, v)$和$(v, u)$。

度

对于任何边$e = (u, v)$，称顶点$u$和$v$彼此邻接(adjacent)，互为邻居；而它们都与边$e$彼此关联(incident)。

在无向图中，与顶点$v$关联的边数，称作$v$的度数(degree)，记作$deg(v)$。
以上图中无向图为例，顶点{ A, B, C, D }的度数为{ 2, 3, 2, 1 }。

对于有向边$e = (u, v)$，$e$称作$u$的出边(outgoing edge)、$v$的入边(incoming edge)。$v$的出边总数称作其出度(out-degree)，记作$outdeg(v)$；入边总数称作其入度(in-degree)，记作$indeg(v)$。
在上图中的有向图中，各顶点的出度为{ 1, 3, 1, 1 }，入度为{ 2, 1, 2, 1 }。

简单图

联接于同一顶点之间的边，称作自环(self-loop)。在某些特定的应用中，这类边可能的确具有意义——比如在城市交通图中，沿着某条街道，有可能不需经过任何交叉路口即可直接返回原处。
不含任何自环的图称作简单图(simple graph)。

通路和环路

所谓路径或通路(path)，就是由$m + 1$个顶点与$m$条边交替而成的一个序列，且对任何$0 < i <= m$都有$e_i = (v_{i-1} , v_i )$。也就是说，这些边依次地首尾相联。其中沿途边的总数$m$，亦称作通路的长度。

尽管通路上的边必须互异，但顶点却可能重复。沿途顶点互异的通路，称作简单通路

特别地，对于长度$m >= 1$的通路，若起止顶点相同(即$v_0 = v_m$)，则称作环路(cycle)，其长度也取作沿途边的总数。同样，尽管环路上的各边必须互异，但顶点却也可能重复。反之，若沿途除$v_0 = v_m$外所有顶点均互异，则称作简单环路。

特别地，经过图中各边一次且恰好一次的环路，称作欧拉环路(Eulerian tour)——其长度恰好等于图中边的总数。经过图中各顶点一次且恰好一次的环路，称作哈密尔顿环路(Hamiltonian tour)。

不含任何环路的有向图，称作有向无环图

带权网络

图不仅需要表示顶点之间是否存在某种关系，有时还需要表示这一关系的具体细节。以铁路运输为例，可以用顶点表示城市，用顶点之间的联边表示对应的城市之间是否有客运铁路联接；同时，往往还需要记录各段铁路的长度、承运能力，以及运输成本等信息。

为适应这类应用要求，需通过一个权值函数，为每一边$e$指定一个权重(weight)，比如$wt(e)$即为边$e$的权重。各边均带有权重的图，称作带权图(weighted graph)或带权网络(weightednetwork)，有时也简称网络(network)，记作$G(V, E, wt())$。

图ADT的实现方法

邻接矩阵

邻接矩阵(adjacency matrix)是图ADT(Abstract Data Type)最基本的实现方式，使用方阵$A[n][n]$表示由$n$个顶点构成的图，其中每个单元，各自负责描述一对顶点之间可能存在的邻接关系，故此得名。

对于无权图，存在(不存在)从顶点$u$到$v$的边，当且仅当$A[u][v] =1(0)$。上图中$(a)$和$(b)$即为无向图和混合图的邻接矩阵实例。

对于带权网络，如上图中$(c)$所示，矩阵各单元可从布尔型改为整型或浮点型，记录所对应边的权重。对于不存在的边，通常统一取值为无穷大或0。

邻接表

以如上图中$(a)$所示的无向图为例，只需将如上图中$(b)$所示的邻接矩阵，逐行地转换为如上图中$(c)$所示的一组列表，即可分别记录各顶点的关联边(或等价地，邻接顶点)。这些列表，也因此称作邻接表(adjacency list)。

图遍历算法

无论采用何种策略和算法，图的遍历都可理解为，将非线性结构转化为半线性结构的过程。

经遍历而确定的边类型中，最重要的一类即所谓的树边，它们与所有顶点共同构成了原图的一棵支撑树(森林)，称作遍历树(traversal tree)。

以遍历树为背景，其余各种类型的边，也能提供关于原图的重要信息，比如其中所含的环路等。

图中顶点之间可能存在多条通路，故为避免对顶点的重复访问，在遍历的过程中，通常还要动态地设置各顶点不同的状态，并随着遍历的进程不断地转换状态，直至最后的“访问完毕”。

图的遍历更加强调对处于特定状态顶点的甄别与查找，故也称作图搜索(graph search)。

广度优先搜索

各种图搜索之间的区别，体现为边分类结果的不同，以及所得遍历树(森林)的结构差异。
其决定因素在于，搜索过程中的每一步迭代，将依照何种策略来选取下一接受访问的顶点。

通常，都是选取某个已访问到的顶点的邻居。同一顶点所有邻居之间的优先级，在多数遍历中不必讲究。因此，实质的差异应体现在，当有多个顶点已被访问到，应该优先从谁的邻居中选取下一顶点。

比如，广度优先搜索(breadth-first search, BFS)采用的策略，可概括为：
越早被访问到的顶点,其邻居越优先被选用

于是，始自图中顶点$s$的BFS搜索，将首先访问顶点$s$；再依次访问$s$所有尚未访问到的邻居；再按后者被访问的先后次序，逐个访问它们的邻居；…；如此不断。

在所有已访问到的顶点中，仍有邻居尚未访问者，构成所谓的波峰集(frontier)(用队列实现)。于是，BFS搜索过程也可等效地理解为：
反复从波峰集中找到最早被访问到顶点v，若其邻居均已访问到，则将其逐出波峰集；否则，随意选出一个尚未访问到的邻居，并将其加入到波峰集中。

不难发现，若将上述BFS策略应用于树结构，则效果等同于层次遍历。波峰集内顶点的深度始终相差不超过一，且波峰集总是优先在更浅的层次沿广度方向拓展。

仿照树的层次遍历，这里也借助队列$Q$，来保存已被发现，但尚未访问完毕的顶点。

因此，任何顶点在进入该队列的同时，都被随即标记为DISCOVERED(已发现)状态。

BFS()的每一步迭代，都先从$Q$中取出当前的首顶点$v$；再逐一核对其各邻居$u$的状态并做相应处理；最后将顶点$v$置为VISITED(访问完毕)状态，即可进入下一步迭代。

若顶点$u$尚处于UNDISCOVERED(未发现)状态，则令其转为DISCOVERED状态，并随即加入队列$Q$。

实际上，每次发现一个这样的顶点$u$，都意味着遍历树可从$v$到$u$拓展一条边。于是，将边$(v, u)$标记为树边(tree edge)，并按照遍历树中的承袭关系，将$v$记作$u$的父节点。

若顶点$u$已处于DISCOVERED状态(无向图)，或者甚至处于VISITED状态(有向图)，则意味着边$(v, u)$不属于遍历树，于是将该边归类为跨边(cross edge)。

BFS()遍历结束后，所有访问过的顶点通过parent[]指针依次联接，从整体上给出了原图某一连通或可达域的一棵遍历树，称作广度优先搜索树，或简称BFS树(BFS tree)。

实例：
不难看出，BFS(s)将覆盖起始顶点$s$所属的连通分量或可达分量，但无法抵达此外的顶点。

而上层主函数bfs()的作用，正在于处理多个连通分量或可达分量并存的情况。具体地，在逐个检查顶点的过程中，只要发现某一顶点尚未被发现，则意味着其所属的连通分量或可达分量尚未触及，故可从该顶点出发再次启动BFS()，以遍历其所属的连通分量或可达分量。

如此，各次BFS()调用所得的BFS树构成一个森林，称作BFS森林(BFS forest)。

深度优先搜索

深度优先搜索(Depth-First Search, DFS)选取下一顶点的策略，可概括为：
优先选取最后一个被访问到的顶点的邻居

于是，以顶点$s$为基点的DFS搜索，将首先访问顶点$s$；再从$s$所有尚未访问到的邻居中任取其一，并以之为基点，递归地执行DFS搜索。

故各顶点被访问到的次序，类似于树的先序遍历；而各顶点被访问完毕的次序，则类似于树的后序遍历。

每一递归实例中，都先将当前节点$v$标记为DISCOVERED(已发现)状态，再逐一核对其各邻居$u$的状态并做相应处理。待其所有邻居均已处理完毕之后，将顶点$v$置为VISITED(访问完毕)状态，便可回溯。

若顶点$u$尚处于UNDISCOVERED(未发现)状态，则将边$(v, u)$归类为树边(tree edge)，并将$v$记作$u$的父节点。此后，便可将$u$作为当前顶点，继续递归地遍历。

若顶点$u$处于DISCOVERED状态，则意味着在此处发现一个有向环路。此时，在DFS遍历树中$u$必为$v$的祖先，故应将边$(v, u)$归类为后向边(back edge)。

这里为每个顶点$v$都记录了被发现的和访问完成的时刻，对应的时间区间$[dTime(v),fTime(v)]$均称作$v$的活跃期(active duration)。实际上，任意顶点$v$和$u$之间是否存在祖先/后代的“血缘”关系，完全取决于二者的活跃期是否相互包含。

对于有向图，顶点$u$还可能处于VISITED状态。此时，只要比对$v$与$u$的活跃期，即可判定在DFS树中$v$是否为$u$的祖先。若是，则边$(v, u)$应归类为前向边(forward edge)；否则，二者必然来自相互独立的两个分支，边(v, u)应归类为跨边(cross edge)。

DFS(s)返回后，所有访问过的顶点通过parent[]指针依次联接，从整体上给出了顶点$s$所属连通或可达分量的一棵遍历树，称作深度优先搜索树或DFS树(DFS tree)。

与BFS搜索一样，此时若还有其它的连通或可达分量，则可以其中任何顶点为基点，再次启动DFS搜索。最终，经各次DFS搜索生成的一系列DFS树，构成了DFS森林(DFS forest)。

实例：


最终结果如上图中$(t)$所示，为包含两棵DFS树的一个DFS森林。可以看出，选用不同的起始基点，生成的DFS树(森林)也可能各异。如本例中，若从D开始搜索，则DFS森林可能如上图中$(u)$所示。

深度优先搜索的应用——拓扑排序

问题描述：

给定描述某一实际应用(上图中$(a)$)的有向图(上图中$(b)$)，如何在与该图“相容”的前提下，将所有顶点排成一个线性序列(上图中$(c)$)。

此处的“相容”，准确的含义是：
每一顶点都不会通过边，指向其在此序列中的前驱顶点。

这样的一个线性序列，称作原有向图的一个拓扑排序。
同一有向图的拓扑排序未必唯一，一个有向图也未必一定存在拓扑排序。
有向无环图一定存在拓扑排序。

思路一：
任一有向无环图必包含入度为零的顶点。否则，每个顶点都至少有一条入边，意味着要么顶点有无穷个，要么包含环路。
于是，只要将入度为0的顶点$m$(及其关联边)从图$G$中取出,则剩余的$G'$依然是有向无环图，故其拓扑排序也必然存在。从递归的角度看，一旦得到了$G'$的拓扑排序，只需将$m$作为最大顶点插入，即可得到$G$的拓扑排序。

思路二：
有向无环图的DFS搜索过程中各顶点被标记为VISITED的次序，恰好(按逆序)给出了原图的一个拓扑排序。

相对于标准的DFS搜索算法，这里增设了一个栈结构。一旦某个顶点被标记为VISITED状态，便随即令其入栈。如此，当搜索终止时，所有顶点即按照被访问完毕的次序——亦即拓扑排序的次序-——在栈中自顶而下排列。

最小支撑树

连通图$G$的某一无环连通子图$T$若覆盖$G$中所有的顶点，则称作$G$的一棵支撑树或生成树(spanning tree)。
就保留原图中边的数目而言，支撑树既是“禁止环路”前提下的极大子图，也是“保持连通”前提下的最小子图。在实际应用中，原图往往对应于由一组可能相互联接(边)的成员(顶点)构成的系统，而支撑树则对应于该系统最经济的联接方案。确切地，尽管同一幅图可能有多棵支撑树，但由于其中的顶点总数均为n，故其采用的边数也均为n - 1。

若图$G$为一带权网络，则每一棵支撑树的成本(cost)即为其所采用各边权重的总和。在$G$的所有支撑树中，成本最低者称作最小支撑树(minimum spanning tree, MST)。

尽管同一带权网络通常都有多棵支撑树，但总数毕竟有限，故必有最低的总体成本。然而，总体成本最低的支撑树却未必唯一。

Prim算法

假定各边的权重互异。

图$G = (V; E)$中，顶点集$V$的任一非平凡子集$U$及其补集V\U都构成$G$的一个割(cut)，记作(U : V\U)。若边$uv$满足$u$属于$U$，且$v$不属于$U$，则称作该割的一条跨越边(crossing edge)。

因此类边联接于$V$及其补集之间，故亦形象地称作该割的一座桥(bridge)。

Prim算法的正确性基于以下事实：
最小支撑树总是会采用联接每一割的最短跨越边。

否则，如上图$(a)$所示假设$uv$是割(U : V\U)的最短跨越边，而最小支撑树$T$并未采用该边。于是由树的连通性，如图$(b)$所示在$T$中必有至少另一跨边$st$联接该割(有可能$s = u$或$t =v$，尽管二者不能同时成立)。同样由树的连通性，$T$中必有分别联接于$u$和$s$、$v$和$t$之间的两条通路。由于树是极大的无环图，故倘若将边$uv$加至$T$中，则如图$(c)$所示，必然出现穿过$u、v、t$和$s$的唯一环路。接下来，只要再删除边$st$，则该环路必然随之消失。

经过如此的一出一入，若设$T$转换为$T'$，则$T$’依然是连通图，且所含边数与$T$相同均为$n - 1$。这就意味着，$T'$也是原图的一棵支撑树。就结构而言，$T'$与$T$的差异仅在于边$uv$和边$st$，故二者的成本之差就是这两条边的权重之差。不难看出，边$st$的权重必然大于身为最短跨越边的$uv$，故$T'$的总成本低于$T$——这与$T$总体权重最小的前提矛盾。

由以上性质，可基于贪心策略（当前看来是最好的选择）导出一个迭代式算法。

实例：

最短路径

若以带权图来表示真实的通讯、交通、物流或社交网络，则各边的权重可能代表信道成本、交通运输费用或交往程度。此时我们经常关心的一类问题可以概括为：
给定带权网络$G = (V, E)$，以及源点(source)$s$属于$V$，对于所有的其它顶点$v$，$s$到$v$的最短通路有多长？该通路由哪些边构成？

设顶点$s$到$v$的最短路径为$p$。于是对于该路径上的任一顶点$u$，若其在$p$上对应的前缀为$\sigma$，则$\sigma$也必是$s$到$u$的最短路径(之一)。否则，若从$s$到$u$还有另一严格更短的路径$\tau$，则易见$p$不可能是$s$到$v$的最短路径。

即便各边权重互异，从$s$到$v$的最短路径也未必唯一。
当存在非正权重的边，并导致某个环路的总权值非正时，最短路径甚至无从定义。

最短路径不含任何(有向)回路。

Dijkstra算法

该算法与Prim算法仅有一处差异：
考虑的是$u_{k+1}$到$s$的距离，而不再是其到$T_k$的距离。

实例：

结语

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