編寫Java代碼實現求1001的803次方除以137的餘數

問題

編寫Java代碼，求 1001⁸⁰³ mod 137 的值。

分析

求餘運算是Java的基本功能，可以直接使用 (int)Math.power(a,b) % p 進行計算，但是由於指數運算增長太快，非常容易就超出 Integer 的數據類型，即便我們使用 Long，其最大值也不過是 2⁶⁴-1，約爲 1.84X10¹⁹，遠遠小於 1001⁸⁰³，所以顯然是無法直接求的。

爲了解決問題，我們首先分析一下餘數的性質。根據餘數 性質3: 給定 $a, b, c, r \in \mathbb{Z}$ 且 $c \neq 0，0 \leq r \leq c$，則$(a \times c) \ \mathrm{mod} \ b = (a \ \mathrm{mod} \ b) \times (b \ \mathrm{mod} \ b)$。比如，(7 $\times$ 9) mod 5 = 3，而((7 mod 5) $\times$ (9 mod 5)) mod 5 = (2 $\times$ 4) mod 5 = 3。

根據這個性質，我們可以把問題變爲1001對137取餘後的乘積再餘，即:
$1001^{803} \ \mathrm{mod} \ 137 = \underbrace{\underbrace{ ((1001 \ \mathrm{mod} \ 137) * (1001 \ \mathrm{mod} \ 137) * \cdots * (1001 \ \mathrm{mod} \ 137) }_{\text{803次取餘再相乘}} ) \ \mathrm{mod} \ 137}_\text{將乘積再對137取餘}$

實現

根據以上分析，我們可以根據這個思路編寫以下代碼：

public static void main(String[] args){
	int base = 1001;
	int x = 803;
	int p = 137;
	int result = 1;
	
	for (int i = 0; i < x; i++) 
		result *= base % p;
	result %= p;

	System.out.println("Result = " + result);
}

然而在執行時，仍然結果不正確，會報數據溢出的錯誤。經檢查，發現溢出錯誤是發生在循環中的 result *= base % p 語句，即 result 仍然會超出數據範圍，原因應該是多次乘法的值過大導致的，所以我們代碼可以再優化一下，最終結果如下：

public static void main(String[] args){
	int base = 1001;
	int x = 803;
	int p = 137;
	int result = 1;
	
	for (int i = 0; i < x; i++){
		 // 防溢出，一定要寫在 result *= base % p; 的上面，讀者可以思考下這是爲什麼。
		if (result > 46340) // 注1
			result %= p;
		result *= base % p;
	}
	result %= p;
	System.out.println("Result = " + result);
}

注1：在程序中進行乘法運算時，兩個數的乘積可能會超出其數據類型所能表示的範圍，所以此處的取到此類型所能表示的最大值開根的值。當前類型爲int，其最大的正值爲 2^31-1，所以可選的最大值爲 (int) Math.sqrt(2^31 - 1)，即46,340。即底能取到最大值爲 46,340，如果想取更大的值可以使用 long，計算範圍的方法一樣，其值爲3,037,000,499。

運行計算後，結果爲：

Result = 104

擴展

我們可以進一步對其進行擴展，將這個計算抽象出一個函數，以方便利用，其定義如下：

/**
 * Return base^x % p.
 * @param base The base of the exponential function.
 * @param x A variable of the exponential function.
 * @param p The divider.
 * @return
 */
public static int getMod(int base, int x, int p) {
	int r = 1;
	for (int i = 0; i < x; i++){
		if (result > 46340)
			result %= p;
		result *= base % p;
	}
	return r % p;
}