编写Java代码实现求1001的803次方除以137的余数

问题

编写Java代码，求 1001⁸⁰³ mod 137 的值。

分析

求余运算是Java的基本功能，可以直接使用 (int)Math.power(a,b) % p 进行计算，但是由于指数运算增长太快，非常容易就超出 Integer 的数据类型，即便我们使用 Long，其最大值也不过是 2⁶⁴-1，约为 1.84X10¹⁹，远远小于 1001⁸⁰³，所以显然是无法直接求的。

为了解决问题，我们首先分析一下余数的性质。根据余数 性质3: 给定 $a, b, c, r \in \mathbb{Z}$ 且 $c \neq 0，0 \leq r \leq c$，则$(a \times c) \ \mathrm{mod} \ b = (a \ \mathrm{mod} \ b) \times (b \ \mathrm{mod} \ b)$。比如，(7 $\times$ 9) mod 5 = 3，而((7 mod 5) $\times$ (9 mod 5)) mod 5 = (2 $\times$ 4) mod 5 = 3。

根据这个性质，我们可以把问题变为1001对137取余后的乘积再余，即:
$1001^{803} \ \mathrm{mod} \ 137 = \underbrace{\underbrace{ ((1001 \ \mathrm{mod} \ 137) * (1001 \ \mathrm{mod} \ 137) * \cdots * (1001 \ \mathrm{mod} \ 137) }_{\text{803次取余再相乘}} ) \ \mathrm{mod} \ 137}_\text{将乘积再对137取余}$

实现

根据以上分析，我们可以根据这个思路编写以下代码：

public static void main(String[] args){
	int base = 1001;
	int x = 803;
	int p = 137;
	int result = 1;
	
	for (int i = 0; i < x; i++) 
		result *= base % p;
	result %= p;

	System.out.println("Result = " + result);
}

然而在执行时，仍然结果不正确，会报数据溢出的错误。经检查，发现溢出错误是发生在循环中的 result *= base % p 语句，即 result 仍然会超出数据范围，原因应该是多次乘法的值过大导致的，所以我们代码可以再优化一下，最终结果如下：

public static void main(String[] args){
	int base = 1001;
	int x = 803;
	int p = 137;
	int result = 1;
	
	for (int i = 0; i < x; i++){
		 // 防溢出，一定要写在 result *= base % p; 的上面，读者可以思考下这是为什么。
		if (result > 46340) // 注1
			result %= p;
		result *= base % p;
	}
	result %= p;
	System.out.println("Result = " + result);
}

注1：在程序中进行乘法运算时，两个数的乘积可能会超出其数据类型所能表示的范围，所以此处的取到此类型所能表示的最大值开根的值。当前类型为int，其最大的正值为 2^31-1，所以可选的最大值为 (int) Math.sqrt(2^31 - 1)，即46,340。即底能取到最大值为 46,340，如果想取更大的值可以使用 long，计算范围的方法一样，其值为3,037,000,499。

运行计算后，结果为：

Result = 104

扩展

我们可以进一步对其进行扩展，将这个计算抽象出一个函数，以方便利用，其定义如下：

/**
 * Return base^x % p.
 * @param base The base of the exponential function.
 * @param x A variable of the exponential function.
 * @param p The divider.
 * @return
 */
public static int getMod(int base, int x, int p) {
	int r = 1;
	for (int i = 0; i < x; i++){
		if (result > 46340)
			result %= p;
		result *= base % p;
	}
	return r % p;
}