20應用統計考研複試要點(part17)--概率論與數理統計

學習筆記，僅供參考，有錯必糾

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茆詩鬆概率論與數理統計

隨機事件與概率

隨機事件及其運算

• 隨機現象

在一定的條件下，並不總是出現相同結果的現象稱爲隨機現象。

隨機現象有兩個特點：

1. 結果不止一個；
2. 哪一個結果出現，人們事先並不知道.

只有一個結果的現象稱爲確定性現象。

必然事件和不可能事件結果只有1個，所以不是隨機事件，它們在本書中作爲隨機事件的兩個端點。

• 隨機試驗

對在相同條件下可以重複的隨機現象的觀察、記錄、實驗稱爲隨機試驗。隨機試驗具有重複性、結果可知性和隨機性。

• 樣本空間

隨機現象的一切可能基本結果組成的集合稱爲樣本空間，記爲$\Omega=\{ \omega \}$，其中$\omega$表示基本結果，又稱爲樣本點。

樣本空間需要列出所有的樣本點。

需要注意的是：

1. 樣本空間中的元素可以是數也可以不是數；
2. 樣本空間至少有兩個樣本點，僅含兩個樣本點的樣本空間是最簡單的樣本空間；
3. 從樣本空間含有樣本點的個數來區分，樣本空間可分爲有限與無限兩類。

我們往往將樣本點的個數爲有限個或可列個的情況歸爲一類，稱爲離散樣本空間，而將樣本點的個數爲不可列無限個的情況歸爲另一類，稱爲連續樣本空間。

• 隨機事件

隨機現象的某些樣本點組成的集合稱爲隨機事件，簡稱事件，常用大寫字母$A,B,C...$表示。

由樣本空間$\Omega$中的單個元素組成的子集稱爲基本事件，而樣本空間$\Omega$的最大子集(即$\Omega$本身)稱爲必然事件，樣本空間$\Omega$的最小子集(即空集$\emptyset$)稱爲不可能事件.

• 隨機變量

用來表示隨機現象結果的變量稱爲隨機變量，常用大寫字母$X,Y,Z$表示。

• 事件之間的關係

(1)包含關係

如果屬於A的樣本點必屬於B，則稱A被包含在B中，或稱B包含A，記爲$A \subset B$或$B \supset A$，用概率論的語言說：事件A發生必然導致事件B發生。

(2)相等關係

如果事件A與事件B滿足：屬於A的樣本點必屬於B，而且屬於B的樣本點必屬於A，即$A \subset B$且$B \subset A$，則稱事件A與B相等，記爲$A=B$

(3)互不相容

如果A與B沒有相同的樣本點，則稱A與B互不相容。用概率論的語言說：A與B互不相容就是事件A與事件B不可能同時發生。

• 事件間的運算

(1)事件A與B的並

記作$A \bigcup B$，其含義爲，由事件A與B中所有的樣本點組成的新事件(相同的只計入一次)，用概率論的語言說：事件A與B中至少有一個發生。

(2)事件A與B的交

記作$A \bigcap B$，或簡記爲$AB$，其含義爲，由事件A與B中公共的樣本點組成的新事件。或用概率論的語言說：事件A與B同時發生。

(3)事件A對B的差

記作$A - B$，其含義爲，由在事件A中而不在B中的樣本點組成的新事件。用概率論的語言說：事件A發生而B不發生。

(4)對立事件

事件A的對立事件，記爲$\overline{A}$，即由在$\Omega$中而不在A中的樣本點組成的新事件，或用概率論的語言說：A不發生，即$\overline{A}=\Omega - A$

A與B互爲對立事件的充要條件是：$A \bigcap B = \emptyset$，且$A \bigcup B = \Omega$

(5)事件的運算性質

交換律：
$A \bigcup B = B \bigcup A, \; AB=BA$
結合律：
$(A \bigcup B)\bigcup C = A \bigcup (B \bigcup C) \\(AB)C=A(BC)$

分配律：
$(A \bigcup B) C = AC \bigcup BC \\(AB) \bigcup C=(A \bigcup C) (B \bigcup C)$

對偶律(德摩根公式)：

事件並的對立等於對立的交：$\overline{A \bigcup B}=\overline{A} \;\overline{B}$

事件交的對立等於對立的並：$\overline{A B}= \overline{A} \bigcup \overline{B}$

• 事件域

謂的事件域從直觀上講就是一個樣本空間中某些子集及其運算(開、交、差、對立)結果而組成的集合類.

來個例子：