[LOJ6274]數字

題目

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題意概要
求這個不可重集合的大小：$\{x\cap y|x\in[l_x,r_x],y\in[l_y,r_y],x\cup y=T\}$

其中 $\cap$ 表示按位與，$\cup$ 表示按位或。

數據範圍與提示
所有數據均爲 $[0,2^{60})$ 內的整數，同時保證 $l_x\le r_x$ 且 $l_y\le r_y$ 。

思路

可以看大佬的博客，並在評論區留下 “湘妹兒~” 的評論 😃

一眼數位 $dp$ 題……當然是用二進制考慮。大致思路僅需一眼，具體做法頭髮掉光 😢

我們來看看這道題到底怎麼做。用 $dp$ 來做——非常慢的 $dp$ 。用 $f(i,p,q)$ 表示，僅僅考慮前 $i-1$ 位時，$x$ 的取值爲 $p$ ，$y$ 的取值爲 $q$ ，能夠拿到多少個不同的按位與的值。不妨用 $p=pre_i(x)$ 來表示 $x$ 的前 $i-1$ 位爲 $p$ ，那麼用數學語言描述就是 $f(i,p,q)=card\{x\cap y|x\in[l_x,r_x],y\in[r_x,r_y],x\cup y=T,p=pre_i(x),q=pre_i(y)\}$

畢竟數位 $dp$ 嘛 😎

然後我們枚舉當前位的取值就很好做了……嗎？用 $(a_0,b_0)$ 表示 $x$ 的第 $i$ 位爲 $a_0$ 而 $y$ 的第 $i$ 位爲 $b_0$ 的情況，那麼 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 是有交集的，因爲按位與的值沒有出現區別，但是 $x,y$ 的值不一樣了。

這兩種情況怎麼處理？我們給出一個驚世駭俗的結論：二者的方案有包含關係！

首先，我們說明一下，既然在這一位上既可以取 $(0,1)$ 也可以取 $(1,0)$ ，那麼取 $1$ 的就一定擺脫下界；取 $0$ 就一定擺脫上界。這個道理很簡單，可以取 $0$ ，那麼取 $1$ 就沒有頂住下界。嚴謹證明不給出了，太簡單。

如果結論是錯誤的，那麼就有兩個不同的按位與的值，分屬於兩者。也就是：我們試圖證明 $A-A\cap B\ne\phi$ 且 $B-A\cap B\ne\phi$ ，於是，$\exist x\in A,y\in B$ 滿足 $x\not\in B,y\not\in A$ 。

我們可以假設這個方案真實存在，後面的數字假設出來。對於後面某一個按位或爲 $1$ 的位置（因爲按位或爲 $0$ 的位置沒得選 😅），存在三種情況：$(0,1),(1,0),(1,1)$ 。我們都來看一看：

• $(1,0)$ 組合看圖片上面所說的，$0$ 可以更改爲 $1$ 。這個數字在增大，而前面的 $0$ 讓它擺脫了上界，所以不會超出範圍。
  同時，第 $i$ 位的選擇仍然是被固定住的。原本前面就沒法選 $1$ ，現在你又增大了一點，就更不能選 $1$ 了！
• $(1,1)$ 組合
  類似地，將 $1$ 更改爲 $0$ 是完全可以的。同時，第 $i$ 位的選擇也仍然沒有增多。
• $(0,1)$ 組合
  仔細看完，你會發現，$(1,0)\rightarrow (1,1)\rightarrow (0,1)$ ，並且第 $i$ 位的選擇仍然固定。
  那麼，倘若真的存在兩對方案 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 並且二者僅僅屬於第 $i$ 位的某一個選擇，那麼經過這一系列調整，將會得到 $(x',y')$ 只能屬於 $(1,0)$ 也只能屬於 $(0,1)$ ，矛盾。

我們已經成功除雜了，只需要使用 $\max(f_1,f_2)$ 即可，兩種情況取最大值。

但是速度有點慢，怎麼辦呢？原來 $p,q$ 不影響後面的轉移，影響轉移的是，是否頂住了上下界。改成四個 $bool$ 就行了。複雜度變成了 $\mathcal O(2^5\log T)$ ，穩！

代碼

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long int_;
inline int_ readint(){
	int_ a = 0; char c = getchar(), f = 1;
	for(; c<'0' or c>'9'; c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; '0'<=c and c<='9'; c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}

int_ T, lx, ly, rx, ry, dp[60][2][2][2][2];
# define a_ a|((lx>>x&1) < i)
# define b_ b|(i < (rx>>x&1))
# define c_ c|((ly>>x&1) < j)
# define d_ d|(j < (ry>>x&1))
# define sxy a_,b_,c_,d_
int_ work(int x,int a,int b,int c,int d){
	if(x == -1) // 每一位都被考慮了
		return 1; // 僅有自己一種
	int_ &zxy = dp[x][a][b][c][d];
	if(zxy != -1) return zxy; zxy = 0;
	int_ chose = 0; // 二者取max
	for(int i=0; i<2; ++i)
	for(int j=0; j<2; ++j)
	if((i|j) == (T>>x&1)) // 滿足按位或條件
	if(a or (lx>>x&1) <= i) // x下界
	if(b or i <= (rx>>x&1)) // x上界
	if(c or (ly>>x&1) <= j) // y下界
	if(d or j <= (ry>>x&1)) // y上界
		if((a&b) == 1) zxy = work(x-1,sxy);
		else chose = max(chose,work(x-1,sxy));
	return zxy += chose;
}

int main(){
	memset(dp,-1,sizeof dp);
	T = readint();
	lx = readint(), rx = readint();
	ly = readint(), ry = readint();
	printf("%lld\n",work(59,0,0,0,0));
	return 0;
}