[LOJ6274]数字

题目

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题意概要
求这个不可重集合的大小：$\{x\cap y|x\in[l_x,r_x],y\in[l_y,r_y],x\cup y=T\}$

其中 $\cap$ 表示按位与，$\cup$ 表示按位或。

数据范围与提示
所有数据均为 $[0,2^{60})$ 内的整数，同时保证 $l_x\le r_x$ 且 $l_y\le r_y$ 。

思路

可以看大佬的博客，并在评论区留下 “湘妹儿~” 的评论 😃

一眼数位 $dp$ 题……当然是用二进制考虑。大致思路仅需一眼，具体做法头发掉光 😢

我们来看看这道题到底怎么做。用 $dp$ 来做——非常慢的 $dp$ 。用 $f(i,p,q)$ 表示，仅仅考虑前 $i-1$ 位时，$x$ 的取值为 $p$ ，$y$ 的取值为 $q$ ，能够拿到多少个不同的按位与的值。不妨用 $p=pre_i(x)$ 来表示 $x$ 的前 $i-1$ 位为 $p$ ，那么用数学语言描述就是 $f(i,p,q)=card\{x\cap y|x\in[l_x,r_x],y\in[r_x,r_y],x\cup y=T,p=pre_i(x),q=pre_i(y)\}$

毕竟数位 $dp$ 嘛 😎

然后我们枚举当前位的取值就很好做了……吗？用 $(a_0,b_0)$ 表示 $x$ 的第 $i$ 位为 $a_0$ 而 $y$ 的第 $i$ 位为 $b_0$ 的情况，那么 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 是有交集的，因为按位与的值没有出现区别，但是 $x,y$ 的值不一样了。

这两种情况怎么处理？我们给出一个惊世骇俗的结论：二者的方案有包含关系！

首先，我们说明一下，既然在这一位上既可以取 $(0,1)$ 也可以取 $(1,0)$ ，那么取 $1$ 的就一定摆脱下界；取 $0$ 就一定摆脱上界。这个道理很简单，可以取 $0$ ，那么取 $1$ 就没有顶住下界。严谨证明不给出了，太简单。

如果结论是错误的，那么就有两个不同的按位与的值，分属于两者。也就是：我们试图证明 $A-A\cap B\ne\phi$ 且 $B-A\cap B\ne\phi$ ，于是，$\exist x\in A,y\in B$ 满足 $x\not\in B,y\not\in A$ 。

我们可以假设这个方案真实存在，后面的数字假设出来。对于后面某一个按位或为 $1$ 的位置（因为按位或为 $0$ 的位置没得选 😅），存在三种情况：$(0,1),(1,0),(1,1)$ 。我们都来看一看：

• $(1,0)$ 组合看图片上面所说的，$0$ 可以更改为 $1$ 。这个数字在增大，而前面的 $0$ 让它摆脱了上界，所以不会超出范围。
  同时，第 $i$ 位的选择仍然是被固定住的。原本前面就没法选 $1$ ，现在你又增大了一点，就更不能选 $1$ 了！
• $(1,1)$ 组合
  类似地，将 $1$ 更改为 $0$ 是完全可以的。同时，第 $i$ 位的选择也仍然没有增多。
• $(0,1)$ 组合
  仔细看完，你会发现，$(1,0)\rightarrow (1,1)\rightarrow (0,1)$ ，并且第 $i$ 位的选择仍然固定。
  那么，倘若真的存在两对方案 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 并且二者仅仅属于第 $i$ 位的某一个选择，那么经过这一系列调整，将会得到 $(x',y')$ 只能属于 $(1,0)$ 也只能属于 $(0,1)$ ，矛盾。

我们已经成功除杂了，只需要使用 $\max(f_1,f_2)$ 即可，两种情况取最大值。

但是速度有点慢，怎么办呢？原来 $p,q$ 不影响后面的转移，影响转移的是，是否顶住了上下界。改成四个 $bool$ 就行了。复杂度变成了 $\mathcal O(2^5\log T)$ ，稳！

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long int_;
inline int_ readint(){
	int_ a = 0; char c = getchar(), f = 1;
	for(; c<'0' or c>'9'; c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; '0'<=c and c<='9'; c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}

int_ T, lx, ly, rx, ry, dp[60][2][2][2][2];
# define a_ a|((lx>>x&1) < i)
# define b_ b|(i < (rx>>x&1))
# define c_ c|((ly>>x&1) < j)
# define d_ d|(j < (ry>>x&1))
# define sxy a_,b_,c_,d_
int_ work(int x,int a,int b,int c,int d){
	if(x == -1) // 每一位都被考虑了
		return 1; // 仅有自己一种
	int_ &zxy = dp[x][a][b][c][d];
	if(zxy != -1) return zxy; zxy = 0;
	int_ chose = 0; // 二者取max
	for(int i=0; i<2; ++i)
	for(int j=0; j<2; ++j)
	if((i|j) == (T>>x&1)) // 满足按位或条件
	if(a or (lx>>x&1) <= i) // x下界
	if(b or i <= (rx>>x&1)) // x上界
	if(c or (ly>>x&1) <= j) // y下界
	if(d or j <= (ry>>x&1)) // y上界
		if((a&b) == 1) zxy = work(x-1,sxy);
		else chose = max(chose,work(x-1,sxy));
	return zxy += chose;
}

int main(){
	memset(dp,-1,sizeof dp);
	T = readint();
	lx = readint(), rx = readint();
	ly = readint(), ry = readint();
	printf("%lld\n",work(59,0,0,0,0));
	return 0;
}