快速傅里葉變換FFT解析

1、FFT介紹

快速傅里葉變換：理解爲實現DFT的快速算法，只是單純的讓數字信號處理器DSP跑DFT算法更快點。

傅里葉變換將信號轉換到頻域上去分析，學術研究可以用連續信號，模擬域的傅里葉變換去分析問題，但是計算機是無法分析在模擬域分析問題。DFT將頻域離散分析問題，一般書本上都會對FFT做描述，爲什麼有FFT產生，最重要的原因的就是運算量，書本上對DFT的運算複雜度都作了詳細介紹。

2、FFT算法核心

FFT實現的核心在於旋轉因子具有的性質：

1）週期性：

2）對稱性:   和

3）可約性: 和 

對照下圖理解以上3個性質是理解FFT抽取過程，旋轉因子變化的原理。以8點DFT舉例，連續對應下圖，N=8；

現在只關心旋轉因子就可以。以k=1爲例

1）週期性應該比較好理解，直觀去看第k*n點，與轉了k圈或是n圈的重合。

2）對稱性從圖上很容易看出，點1與點5滿足第一個公式，點1與點7共軛對稱滿足

3）可約性從旋轉因子的公式容易得出

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上述性質就是實現蝶形運算的關鍵。

FFT實現另一個的關鍵點：將長序列分解成短序列計算

 

每一級運算都是2點DFT，經過3級運算最終得到8點DFT結果。

這是利用理論公式計算出來的結果

以下圖片摘抄網頁，公式敲起來太麻煩了。

 

注意:每級奇偶抽取是針對相對應子序列的自然順序的奇偶，不是n的奇偶。例如第二次抽取x(2),x(6)是對應子序列的奇數項。