下面這兩段話好好理解，就明白極大元和最大元的區別了
1、極大元是沒有別的元素比它大，即別的元素要麼和極大元不可比，只要能比，就一定小於等於極大元；
最大元是它比別的元素都大，即別的元素與最大元都可比，而且比較的結果一定是小於等於最大元。
2、極大元是沒有元素比極大元還大，但是這並不是說極大元只有一個，比如"V"型的偏序，極大元就有兩個，不存在底部元素x比頂點那兩個還大，但是那兩個誰大是不能比較的，所以都是極大元，沒有最大元。如果偏序像“A”,那麼就只有一個極大元，極大元也是最大元，無論偏序是怎樣的，最大元只能有一個。
下面爲書上的定義：
設(A, ≤)是一偏序集合，B是A的子集。
最大元素、最小元素：
(1)元素b∈B是B的最大元素，如果對每一元素x∈B，x≤b
(2)元素b∈B是B的最小元素，如果對每一元素x∈B，b≤x
即：對於每一個元素，都能滿足這樣的偏序關係。
定理：如果B存在最大（最小）元素，那麼它是唯一的。
例：如果B = {2, 3}，偏序關係爲“整除”，因爲2和3互相不能整除，那麼B沒有最小元素和最大元素。
極大元素、極小元素：
(1)如果b∈B，且B中不存在元素x，使b≠x且b≤x，那麼元素b∈B叫做B的極大元素。
(2)如果b∈B，且B中不存在元素x，使b≠x且x≤b，那麼元素b∈B叫做B的極小元素。
即：對於極大元素，不存在元素在它偏序關係之上。
對於極小元素，不存在元素在它偏序關係之下。
注意：B的最大(小)元素和極大(小)元素都必須是子集B的元素，而B的上界(下界)和最小上界(最大下界)可以是也可以不是B的元素。在定義中並沒有保證這些元素的存在。在許多情況下他們是不存在的。
上界、下界：
(1)如果對每一b∈B，b≤a，那麼元素a∈A叫做B的上界；
(2)如果對於如果對每一b∈B，a≤b，那麼元素a∈A叫做B的上界；
上界、下界是A集合裏的，可以存在很多個，也可以不存在
也就是說求上界的時候，對於每一個B裏面的元素，都要和它上界們滿足偏序關係，所以在集合B裏面的不能有兩個及以上，因爲同時選擇兩個的話，就不滿足B裏面任何元素都要滿足偏序關係了。
上確界、下确界：
(1)如果a是一上界並且對每一B的上界a’有a≤a’，那麼元素a∈A叫做B的最小上界，記作lub；
(2)如果a是一下界並且對每一B的下界a’有a≤a’，那麼元素a∈A叫做B的最大下界，記作glb
最大下界和最小上界可能存在也可能不存在，如果它們存在，則是唯一的。
極大元素，就是沒有比它更大的元素（可比較的情況下）
極小元素，就是沒有比它更小的元素（可比較的情況下）
求極大值/極小值的時候，因爲只要是所有元素沒有不滿足的就可以，所以可以選擇兩個以上，其中可以有不和元素連線的。
最大元素，就是所有其他元素都比它小（與其他元素都可以比較）
最小元素，就是所有其他元素都比它大（與其他元素都可以比較）
如果最大值/最小值/上確界/下确界存在，那麼一定是唯一的
上界，就是元素比指定集合內中所有元素都大（且與這些元素都可以比較）
最小上界，就是上界中最小的元。
下界，就是元素比指定集合中所有元素都小（且容與這些元素都可以比較）
最大下界，就是下界中最大的元。
求上界/下界，因爲是和最大最小值一樣是所有的必須滿足條件，所以所有元素都是要求有連線的，所以不可能存在兩個及以上的元素在B集合裏面。