【題解】奶牛的臥室

奶牛們有一個習慣，那就是根據自己的編號選擇牀號。如果一頭奶牛編號是a，並且有0…k-1一共k張牀，那麼她就會選擇a mod k號牀作爲她睡覺的地點。顯然，2頭牛不能睡在一張牀上。那麼給出一些奶牛的編號，請你爲她們準備一間臥室，使得裏面的牀的個數最少。

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本題要求的，就是找一個最小的數m，使得任意兩個數x，y，滿足：
(x mod m) != (y mod m).
根據結論：
當（(x - y) mod m） != 0，則有：(x mod m) != (y mod m).

證明：
設：a % m = b % m = k,
則：a = p1 * m + k; b = p2 * m + k.
(a - b) = (p1 - p2) * m,(a - b) mod m = 0.
用反證，可以證明結論正確。

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也就是說，我們要找到一個最小的因子，使得它不是任意兩個數的差的因子。

1. 最簡單的做法，我們用$O(n^2)$的複雜度計算出來所有的差，並且對每個差計算他的所有因子，並記錄。但是這樣複雜度過高。
2. 我們也可以將所有的差先計算出來，然後從小到大遍歷所有的數，對每個數判斷它是不是某個差的因子，這個過程類似於埃及篩法求素數的過程。

for (int j = i * 2; j <= maxx + 1 && tmp; j += i) 
		if (exist[j]) tmp = 0; 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
using namespace std;

#define ll int
#define vec vector<ll>
#define MAX 5005
#define inf 0x3fffffff
#define P pair<ll,ll>

int main() {
	ll n, a[MAX], exist[1000005];
	while (cin >> n) {
		ll maxx = 0;
		memset(exist, 0, sizeof(exist));
		for (int i = 0; i < n; i++)cin >> a[i], maxx = max(maxx, a[i]);
		for (int i = 0; i < n; i++) 
			for (int j = i + 1; j < n; j++) 
				exist[abs(a[i] - a[j])] = 1;//記錄所有的差
		ll sign = 0;
		for (int i = 1; i <= maxx + 1 && !sign; i++) {
			//判斷它是不是任意差的因子
			if (exist[i] == 0) {
				ll tmp = 1;
				for (int j = i * 2; j <= maxx + 1 && tmp; j += i) 
					if (exist[j]) tmp = 0; 
				if (tmp)sign = i;
			}
		}
		cout << sign << endl;
	}
}