李永樂數學基礎過關660題概率論選擇題

490.設事件$A,B,C$兩兩獨立，則$A,B,C$相互獨立的的充分必要條件是
$(A)AB$和$BC$獨立；
$(B)A\cup B$和$B\cup C$獨立；
$(C)A-B$和$C$獨立；
$(D)A-B$和$B-C$獨立。

解  $A,B,C$兩兩獨立，只要滿足$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$就有$A,B,C$相互獨立。現$A-B$和$C$獨立，即有$P(A\overline{B}C)=P(A\overline{B})P(C)$。又因爲$A,B$獨立，$A,\overline{B}$也獨立，$P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})$。所以$P(A\overline{B}C)=P(A)P(\overline{B})P(C)$。$A,B,C$兩兩獨立，即有$A,\overline{B},C$兩兩獨立。所以$A,\overline{B},C$相互獨立，也就有$A,B,C$相互獨立。故選$(C)$。（這道題主要利用了相互獨立的定義求解）

537.設隨機變量$X$服從標準正態分佈$N(0,1)$，則$E[(X-2)^2e^{2X}]=$
$(A)1;$
$(B)2;$
$(C)e^2;$
$(D)2e^2.$

解
$\begin{aligned} E[(X-2)^2e^{2X}]&=\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}(x-2)^2e^{2x}\cdot\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x\\ &=e^2\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}(x-2)^2\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x=e^2. \end{aligned}$
  上式最後一步中，$\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$是正態分佈$N(2,1)$的概率密度，而$\displaystyle\int^{+\infty}_{-\infty}(x-2)^2\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x$恰是它的方差，等於1。故選$(C)$。（這道題主要利用了正態分佈的特點求解）

542.已知隨機變量$X$與$Y$的相關係數大於零，則
$(A)D(X+Y)\geqslant D(X)+D(Y);$
$(B)D(X+Y)<D(X)+D(Y);$
$(A)D(X-Y)\geqslant D(X)+D(Y);$
$(A)D(X-Y)< D(X)+D(Y).$

解  由公式$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm2\mathrm{Cov}(X,Y)$得：由於$X$與$Y$的相關係數$\rho=\cfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$，故$\rho>0$就是$\mathrm{Cov}(X,Y)>0$。所以
$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)>D(X)+D(Y),\\ D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\mathrm{Cov}(X,Y)<D(X)+D(Y).$
  故選$(D)$。（這道題主要利用了協方差的性質求解）

566.設$X_1,X_2,\cdots,X_n$和$Y_1,Y_2,\cdots,Y_n$分別來自總體均爲正態分佈$N(\mu,\sigma^2)$的兩個相互獨立的簡單隨機樣本，記它們樣本方差分別爲$S_X^2$和$S_Y^2$，則統計量$T=(n-1)(S_X^2+S_Y^2)$的方差$D(T)$是
$(A)2n\sigma^4;$
$(B)2(n-1)\sigma^4;$
$(C)4n\sigma^4;$
$(D)4(n-1)\sigma^4.$

解
$\cfrac{(n-1)S_X^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1),\\ \cfrac{(n-1)S_Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1),$
  它們相互獨立，所以
$\begin{aligned} D(T)&=\sigma^4D\left[\cfrac{n-1}{\sigma^2}(S_X^2+S_Y^2)\right]=\sigma^4\left[D\left(\cfrac{(n-1)S_X^2}{\sigma^2}\right)+D\left(\cfrac{(n-1)S_X^2}{\sigma^2}\right)\right]\\ &=\sigma^4[2(n-1)+2(n-1)]=4(n-1)\sigma^4 \end{aligned}$
（這道題主要利用了$\chi$分佈求解）

574.設總體$X$服從正態分佈$N(\mu,\sigma^2)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的簡單隨機樣本，據此樣本檢驗假設：$H_0:\mu=\mu_0$，則
$(A)$如果在檢驗水平$\alpha=0.01$下拒絕$H_0$，那麼在檢驗水平$\alpha=0.05$下必拒絕$H_0$；
$(B)$如果在檢驗水平$\alpha=0.01$下拒絕$H_0$，那麼在檢驗水平$\alpha=0.05$下必接受$H_0$；
$(C)$如果在檢驗水平$\alpha=0.01$下接受$H_0$，那麼在檢驗水平$\alpha=0.05$下必拒絕$H_0$；
$(D)$如果在檢驗水平$\alpha=0.01$下接受$H_0$，那麼在檢驗水平$\alpha=0.05$下必接受$H_0$。

解  檢驗水平$\alpha$爲檢驗犯第一類錯誤的概率，即$H_0$爲真的條件下，拒絕$H_0$而犯錯誤的概率。顯然，當$\alpha$變大時，拒絕$H_0$的範圍應變大，接受$H_0$的範圍變小。所以$\alpha=0.01$條件下拒絕$H_0$，則在$\alpha=0.05$條件下必拒絕，答案應選$(A)$。（這道題主要利用了檢驗方法求解）

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