山區建小學

$山區建小學$

題目鏈接：$luogu\ P4677$

題目

政府在某山區修建了一條道路，恰好穿越總共$n$個村莊的每個村莊一次，沒有迴路或交叉，任意兩個村莊只能通過這條路來往。已知任意兩個相鄰的村莊之間的距離爲$d_i$（爲正整數），其中，$0<i<n$。爲了提高山區的文化素質，政府又決定從$n$個村中選擇$m$個村建小學。請根據給定的$n$、$m$以及所有相鄰村莊的距離，選擇在哪些村莊建小學，才使得所有村到最近小學的距離總和最小，計算最小值。

輸入

第$1$行爲$n$和$m$，其間用空格間隔。

第2行爲$n-1$個整數，依次表示從一端到另一端的相鄰村莊的距離，整數之間以空格間隔。

$例如：$

$10\ 3$
$2\ 4\ 6\ 5\ 2\ 4\ 3\ 1\ 3$

表示在$10$個村莊中建$3$所學校。第$1$個村莊與第$2$個村莊距離爲$2$，第$2$個村莊與第$3$個村莊距離爲$4$，第$3$個村莊與第$4$個村莊距離爲$6$，$...$，第$9$個村莊到第$10$個村莊的距離爲$3$。

輸出

各村莊到最近學校的距離之和的最小值。

樣例輸入

10 2
3 1 3 1 1 1 1 1 3

樣例輸出

18

數據範圍

$0\ <\ m\ <=\ n\ <\ 500$

$0\ <\ d_i\ <=\ 100$

思路

這道題是一道動態規劃。

要做出這道題，最重要的一部是怎麼求出$i$到$j$第之間的所有村莊都到一個學校時，所需要的距離總和的最小值。
那麼在這裏呢，我們就認爲最中間的村莊就是可以讓距離總和最小的。我們用$f[i][j]$表示，在第$i$個村莊到第$j$個村莊中只建一個學校所能獲得的最小距離總和。那麼我們就可以通過前綴和和我們的貪心求出$f$。

接着呢，我們就可以通過$dp$求出答案。至於怎麼$dp$呢，很簡單，就是這個：
$f[i][j]\ =\ min(f[i][j],\ f[k][j\ -\ 1]\ +\ dis[k\ +\ 1][i])\ （j\ -\ 1\ <=\ k\ <=\ i）$
其中，$dis$表示我們之前算出來的距離，而$k$就表示分界點。
這個其實就是一個$Floyed-Warshall$算法，只是表示的方法不一樣，而且因爲$n$最大隻有$500$，所以三重循環是可行的。

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int n, m, a[501], dis[501][501], f[501][501];

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);//讀入
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);//讀入
		a[i] += a[i - 1];//前綴和
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = i; j <= n; j++) {
			int school = (i + j) >> 1;//應該建的位置
			for (int k = i; k <= j; k++)
				dis[i][j] += abs(a[school] - a[k]);//求出距離
		}
	
	memset(f, 0x7f, sizeof(f));//初始化
	f[0][0] = 0;//初始化
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			if (j > i) {
				f[i][j] = 0;//每個地方都可以建學校
				continue;
			}
			for (int k = j - 1; k <= i; k++)
				f[i][j] = min(f[i][j], f[k][j - 1] + dis[k + 1][i]);//動態轉移方程
		}
	
	printf("%d", f[n][m]);//輸出
	
	return 0;
}

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