小麥畝產一千八(kela)

$小麥畝產一千八(kela)$

題目鏈接：$jzoj\ 3461$

題目

“有了金坷垃，肥料一袋能頂兩袋撒，小麥畝產一千八，吸收兩米下的氮磷鉀……”，話說$HYSBZ（Hengyang\ School\ for\ Boys\ \&\ Zy）$學識淵博孩紙們一講到糧食，都會想起印度那個著名的故事：國王要在第一個格子裏放入一粒小麥，接下來的格子放入前面一個格子的兩倍的小麥。這樣所需小麥總數是巨大的，哪是不用金坷垃就能完成的任務？不過爲了減輕國王的任務，那個下棋獲勝的宰相換了一個要求：“我只需要你在棋盤外放一粒小麥，可以將其理解爲第 $0$ 個格子，然後你需要在第一個格子裏放入 $p$ 粒小麥，之後每一個格子放入前兩個格子的小麥數之和的小麥，並且要滿足第 $a$ 個格子放 $x$ 粒小麥，第 $b$ 個格子放……”說到這，宰相突然發現自己說的滿足第 $a$ 個格子放 $x$ 粒小麥的情況可能不存在……欺君可是大罪啊！國王看到宰相遲遲不說，自己也煩了！我自己來算！於是國王拜託你，讓你算出第 $b$ 個格子應該放幾粒小麥。當然，就算答案不存在，你也是要告訴國王的。

輸入

該題有多組數據，請讀到文件末結束。

對於每一組數據僅一行，$3$ 個正整數$a$ , $x$ , $b$ ,分別表示第 $a$ 個格子放了 $x$ 粒小麥，以及你所需要計算的是第 $b$ 個格子的小麥數量。

輸出

對於每一次詢問，僅 $1$ 個整數，爲第 $b$ 個格子的小麥數量，若宰相說的情況不存在，那麼請輸出$-1$。

樣例輸入

1 1 2

3 5 4

3 4 6

12 17801 19

樣例輸出

2

8

-1

516847

樣例解釋

對於樣例二，$f[1]=2$ 時,能夠滿足$f[3]=5$，因此宰相沒有撒謊，此時第 $5$ 個格子的小麥數應爲$f[4]=f[2]+f[3]=3+5=8.$

數據範圍

對於$50\%$的數據：如果答案存在，那麼$p<=50$

對於$100\%$的數據：$1<=$數據組數$<=10000$，$1<=a,b<=20$, 數據保證如果答案存在，那麼$1<=p<=1000000.$

思路

這道題其實㐊一道變了形的斐波那切數列。

設$f[i]$爲第$i$個格子應該放的數量，那我們簡單模擬一下：
$f[0] = 1$
$f[1] = p$
$f[2] = f[0] + f[1] = 1 + p$
$f[3] = f[1] + f[2] = p + (1 + p) = 1 + 2 * p$
$f[4] = f[2] + f[3] = (1 + p) + (1 + 2 * p) = 2 + 3 * p$
$f[5] = f[3] + f[4] = (1 + 2 * p) + (2 + 3 * p) = 3 + 5 * p$
那我們又發現，設$fb[i]$原來的斐波那契數列中的第$i$個，式子爲$f[i] = j + k * p$，則$j$其實是$fb[i]$，$k$其實是$fb[i + 1]$，那就可以得到這個：
$f[i] = fb[i] + fb[i + 1] * p\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ①$
簡單移一下項，就可以得到這個：
$p = (f[i] - fb[i])\ /\ fb[i + 1]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ②$

那我們就可以先預處理原來的斐波那契數列，然後對於每一組數據，通過$a$與$x$套入公式$②$中求出$p$（如果$p$不是整數則沒有解），然後用$p$和$b$代回公式$①$中，就可以求出答案了。

（注意，要用$long\ long$）

代碼

#include<cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

ll a, x, b, fb[21];

int main() {
	fb[1] = 0;
	fb[2] = fb[3] = 1;//初始化
	for (int i = 4; i <= 21; i++)
		fb[i] = fb[i - 1] + fb[i - 2];//求出原來的斐波那契數列
	
	while (~scanf("%lld %lld %lld", &a, &x, &b)) {//讀入
		ll p = (x - fb[a]) / fb[a + 1];//求出p值
		if ((x - fb[a]) % fb[a + 1]) printf("-1\n");//沒有解
			else printf("%lld\n", fb[b + 1] * p + fb[b]);//有解直接算出答案
	}
	
	return 0;
}