登機

$登機$

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題目

小$H$是機場登機的執行經理。他的工作是優化登機流程。飛機上的座位有$S$行，編號從$1$到$S$，每行有六個座位，標記爲$A$到$F$。

今天 有$n$個乘客陸續登機，第$i$名乘客的座位在第$R_i$行，則第$i$名乘客的登機難度等於在他登機時坐在$1..R_i-1$行的乘客的人數。

例如，如果有$10$名乘客，他們的座位是$6A$，$4B$，$2E$，$5F$，$2A$，$3F$，$1C$，$10E$，$8B$，$5A$，那麼他們的登機困難分別是$0$，$0$，$0$，$2$，$0$，$2$,$0$，$7$，$7$，$5$，則難度總和爲$23$。

爲了降低登機難度，小$H$想要將飛機座位劃分爲$k$個區域。每一個區域必須是連續的行。劃分成$k$個區域之後，乘客的登機順序不會改變，但是每個乘客的登機難度將只統計該乘客所在區域前面乘客的人數。

例如，在上面的例子中，如果我們把該平面分成兩個區域： $5-10$行和$1-4$行 ，然後在第一區域中的乘客的座位爲$6A$，$5F$，$10E$，$8B$，$5A$；在第二區域中的乘客的座位爲$4B$，$2E$，$2A$，$3F$，$1C$，這種情況下，登機難度綜合爲$6$。

現在，小$H$不知道該怎麼劃分這$k$個區域，才能讓乘客的登機難度總和最少。

輸入

輸入文件第一行包含三個整數$N$，$S$和$k$，下一行包含$N$個整數$R_i$，輸入保證每一行座位由最多有$6$名乘客。

輸出

輸出文件包含一個整數，表示登機可能的最小登機難度。

樣例輸入

10 12 2
6 4 2 5 2 3 1 11 8 5

樣例輸出

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數據範圍

$40\%$的數據，$n<=100$，$s<=100$
$100\%$的數據，$n<=1000$，$s<=1000$ , $1≤R_i≤s$ , $k<=50$ , $k<=s$

思路

這道題是一道$dp$。

我們先通過前綴和求出第$i$排人給第$j$排人造成的登機難度和。（用$b[i][j]$表示）
接着，通過$dp$得出第$i$排到第$j$排爲一個區間時，這個區間的登機難度和。如果用$f[i][j]$表示，則動態轉移方程則爲：
$f[i][j] = f[i][j - 1] + b[j][j] - b[i - 1][j];$
最後，我們就可以再用$dp$求出答案了。設$ans[i][j]$爲對於前$i$排，把它劃分成$j$個區間所最後需要的最小登機難度，那麼這個動態轉移方程就是：
$ans[i][j] = min(ans[i][j], ans[l - 1][j - 1] + f[l][i]);$
那麼最後我們只需要輸出$ans[s][k]$就可以了。

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define min(x, y) (x) < (y) ? (x) : (y)

using namespace std;

int n, s, k, a[1001], b[1001][1001], f[1001][1001], ans[1001][1001];

int main() {
//	freopen("board.in", "r", stdin);
//	freopen("board.out", "w", stdout);
	
	scanf("%d %d %d", &n, &s, &k);//讀入
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);//讀入
		for (int j = 1; j < i; j++)
			if (a[j] < a[i])
				b[a[j]][a[i]]++;//記錄某兩行之間產生的登機難度和
	}
	
	for (int i = 1; i <= s; i++)
		for (int j = 1; j <= s; j++)
			b[i][j] += b[i - 1][j];//前綴和
	
	for (int i = 1; i <= s; i++)
		for (int j = 1; j <= s; j++)
			f[i][j] = f[i][j - 1] + b[j][j] - b[i - 1][j];//dp
	
	memset(ans, 0x7f, sizeof(ans));//初始化
	ans[0][0] = 0;//初始化
	for (int i = 1; i <= s; i++)
		for (int j = 1; j <= k; j++)
			for (int l = j; l <= i; l++)//枚舉開始新區塊的位置
				ans[i][j] = min(ans[i][j], ans[l - 1][j - 1] + f[l][i]);//dp
	
	printf("%d", ans[s][k]);//輸出
	
//	fclose(stdin);
//	fclose(stdout);
	
	return 0;
}