花神的數論題

$花神的數論題$

題目鏈接：$luogu\ P4317$

題目背景

衆所周知，花神多年來憑藉無邊的神力狂虐各大 $OJ$、$OI$、$CF$、$TC$、$……$ 當然也包括 $CH$ 啦。

題目

話說花神這天又來講課了。課後照例有超級難的神題啦…… 我等蒟蒻又遭殃了。 花神的題目是這樣的：設 $\text{sum}(i)$ 表示 $i$ 的二進制表示中 $1$ 的個數。給出一個正整數 $N$ ，花神要問你 $\prod_{i=1}^{N}\text{sum}(i)$，也就是 $\text{sum}(1)\sim\text{sum}(N)$ 的乘積。

輸入

一個正整數 $N$。

輸出

一個數，答案模 $10000007$ 的值。

樣例輸入

3

樣例輸出

2

數據範圍

對於 $100\%$ 的數據，$N≤10^{15}$

思路

這道題是數位$dp$，但是我用的是組合數。

我們從大到小枚舉位數，找到是$1$的位數，那我們就可以讓它爲$0$，後面的位數就可以隨便枚舉了。接着枚舉玩這一位之後，我們只要讓它一直是$1$，那麼我們就可以繼續枚舉下面的，而不會重複也不會超上限來。

除了枚舉位數（設用$i$枚舉），還要枚舉未確定的位數中$1$的個數（設用$j$枚舉），那麼我們設之前以及確定來的是$1$的位數的數量是$t$，那麼答案要乘上的值就是$(t+j)^{C^j_i}$。$(t+j)$就是整個數列中$1$的個數，而$C^j_i$就不用說了，組合數嘛，求出$1$的個數爲$(t+j)$的數有多少個嘛。
（至於$C^j_i$怎麼搞，肯定就是預處理啊，因爲$n$化爲二進制肯定不超過$60$位，那我們只需要預處理出$60$內的就可以了）

最後輸出的時候，有一點要注意，就是還要乘上計數器$t$。因爲按上面那樣的話是不會算到$n$本身的情況的，所以我們輸出的時候還要再乘上$t$纔可以。

還有一個很重要的東西，因爲$10000007$它不是素數，所以我們預處理組合數的時候就不可以用$10000007$，而是要用它的歐拉函數值。
$\varphi(10000007)=9988440$

代碼

#include<cstdio>
#define mo 10000007
#define ll long long

using namespace std;

ll n, C[61][61], t, ans = 1;

ll qsm(ll a, ll b) {//快速冪
	ll anan = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) anan = (anan * a) % mo;
		a = (a * a) % mo;
		b >>= 1;
	}
	return anan;
}

int main() {
	for (int i = 0; i <= 60; i++)//預處理組合數
		C[i][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 60; i++)
		for (int j = 1; j <= i; j++)
			C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % 9988440;//因爲10000007不是素數，所以要用它的歐拉函數值phi(10000007)=9988440
	
	scanf("%lld", &n);//讀入
	
	for (int i = 60; i >= 0; i--) {//枚舉沒確定位數
		if (!((n >> i) & 1)) continue;//當前位是0
		for (int j = 0; j <= i; j++)//枚舉沒確定的1的個數
			if (t + j)//的出來的至少有一個1
				ans = (ans * qsm(t + j, C[i][j])) % mo;//乘起來
		t++;//加計數器
	}
	
	printf("%lld", ans * t % mo);//輸出（要記得乘上計數器）
	
	return 0;
}