【程序人生】数据结构杂记（七）

说在前面

个人读书笔记

查找

所谓的查找或搜索(search)，指从一组数据对象中找出符合特定条件者，这是构建算法的一种基本而重要的操作。其中的数据对象，统一地表示和实现为词条(entry)的形式；不同词条之间，依照各自的关键码(key)彼此区分。根据身份证号查找特定公民，根据车牌号查找特定车辆，根据国际统一书号查找特定图书，均属于根据关键码查找特定词条的实例。

查找与数据对象的物理位置或逻辑次序均无关。实际上，查找的过程与结果，仅仅取决于目标对象的关键码，故这种方式亦称作循关键码访问(call-by-key)。

词条对象拥有成员变量key和value。前者作为特征，是词条之间比对和比较的依据；后者为实际的数据。

词条的判等与比较等操作可以通过关键码的判等与比较实现。当然，这里隐含地做了一个假定——所有词条构成一个全序关系，可以相互比对和比较。需指出的是，这一假定条件不见得总是满足。比如在人事数据库中，作为姓名的关键码之间并不具有天然的大小次序。另外，在任务相对单纯但更加讲求效率的某些场合，并不允许花费过多时间来维护全序关系，只能转而付出有限的代价维护一个偏序关系。

搜索树

高效率的动态修改兼顾高效率的静态查找

二叉搜索树

在所谓的二叉搜索树(binary search tree)中，处处都满足顺序性：
任一节点r的左(右)子树中，所有节点(若存在)均不大于(不小于)r

任何一棵二叉树是二叉搜索树，当且仅当其中序遍历序列单调非降：

查找

二叉搜索树的查找算法，亦采用了减而治之的思路与策略，其执行过程可描述为：
从树根出发，逐步地缩小查找范围，直到发现目标(成功)或缩小至空树(失败)

如上图查找关键码22的过程：
首先，经与根节点16比较确认目标关键码更大，故深入右子树25递归查找；经比较发现目标关键码更小，故继续深入左子树19递归查找；经再次比较确认目标关键码更大后，深入右子树22递归查找；最终在节点22处匹配，查找成功。

一般地，在上述查找过程中，一旦发现当前节点为NULL，即说明查找范围已经缩小至空，查找失败；否则，视关键码比较结果，向左(更小)或向右(更大)深入，或者报告成功(相等)。

上面是在子树$v$中查找关键码$e$的算法。节点的插入和删除操作，都需要首先调用查找算法，并根据查找结果确定后续的处理方式。因此，这里以引用方式传递(子)树根节点，以为后续操作提供必要的信息。所谓引用传递是指在调用函数时将实际参数的地址传递到函数中，那么在函数中对参数所进行的修改，将影响到实际参数。

当二叉搜索树退化为(接近于)一条单链时，此时的单次查找可能需要线性时间，因为实际上这样的一棵“二分”搜索树，已经退化成了一个不折不扣的一维有序列表，而此时的查找则等效于顺序查找。
由此我们可得到启示：
若要控制单次查找在最坏情况下的运行时间，须从控制二叉搜索树的高度入手

插入

以如上图中$(a)$所示的二叉搜索树为例。若欲插入关键码40，则在执行search(40)之后，如图$(b)$所示，_hot将指向比较过的最后一个节点46，同时返回其左孩子(此时为空)的位置。于是接下来如图$(c)$所示，只需创建新节点40，并将其作为46的左孩子接入，拓扑意义上的节点插入即告完成。

不过，为保持二叉搜索树作为数据结构的完整性和一致性，还需从节点_hot(46)出发，自底而上地逐个更新新节点40历代祖先的高度。

接下来若欲插入关键码55，则在执行search(55)之后如图$(c)$所示，_hot将指向比较过的最后一个节点53，同时返回其右孩子(此时为空)的位置。于是如图$(d)$所示，创建新节点55，并将其作为53的右孩子接入。当然，此后同样需从节点_hot出发，逐代更新祖先的高度。

注意，按照以上实现方式，无论插入操作成功与否，都会返回一个非空位置，且该处的节点与拟插入的节点相等。如此可以确保一致性，以简化后续的操作。

删除

以上图中$(a)$所示二叉搜索树为例。若欲删除节点69，需首先通过search(69)定位待删除节点(69)。因该节点的右子树为空，故只需如图$(b)$所示，将其替换为左孩子(64)，则拓扑意义上的节点删除即告完成。
当然，为保持二叉搜索树作为数据结构的完整性和一致性，还需更新全树的规模记录，释放被摘除的节点(69)，并自下而上地逐个更新替代节点(64)历代祖先的高度。

注意，首个需要更新高度的祖先(58)，恰好由_hot指示。

不难理解，对于没有左孩子的目标节点，也可以对称地予以处理。当然，以上同时也已涵盖了左、右孩子均不存在(即目标节点为叶节点)的情况。

那么，当目标节点的左、右孩子双全时，删除操作又该如何实施呢?

继续上例，设拟再删除二度节点36。如图$(b)$所示，首先找到该节点的直接后继(40)。然后，只需如图$(c)$所示交换二者的数据项，则可将后继节点等效地视作待删除的目标节点。不难验证，该后继节点必无左孩子，从而相当于转化为此前相对简单的情况。于是最后可如图$(d)$所示，将新的目标节点(36)替换为其右孩子(46)。

请注意，在中途互换数据项之后，这一局部如图$(c)$所示曾经一度并不满足顺序性。但这并不要紧——不难验证，在按照上述方法完成整个删除操作之后，全树的顺序性必然又将恢复。

同样地，除了更新全树规模记录和释放被摘除节点，此时也要更新一系列祖先节点的高度。
不难验证，此时首个需要更新高度的祖先(53)，依然恰好由_hot指示。

平衡二叉树

既然二叉搜索树的性能主要取决于高度，节点数目固定的前提下，应尽可能地降低高度。

相应地，应尽可能地使兄弟子树的高度彼此接近，即全树尽可能地平衡。当然，包含n个节点的二叉树，高度不可能小于$log _2n$。若树高恰好为$log_2n$，则称作理想平衡树。

在渐进意义下适当放松标准之后的平衡性，称作适度平衡。

若将树高限制为“渐进地不超过$O(logn)$”，则AVL树、伸展树、红黑树、kd-树等，都属于适度平衡。这些变种，因此也都可归入平衡二叉搜索树(balanced binary search tree，BBST)之列。

等价二叉搜索树

若两棵二叉搜索树的中序遍历序列相同，则称它们彼此等价；反之亦然。

由该图也不难看出，虽然等价二叉搜索树中各节点的垂直高度可能有所不同，但水平次序完全一致。这一特点可概括为“上下可变，左右不乱”。

平衡二叉搜索树的适度平衡性，都是通过对树中每一局部增加某种限制条件来保证的。比如，在红黑树中，从树根到叶节点的通路，总是包含一样多的黑节点；在AVL树中，兄弟节点的高度相差不过1。事实上，这些限制条件设定得非常精妙，除了适度平衡性，还具有如下局部性：

1. 经过单次动态修改操作后，至多只有$O(1)$处局部不再满足限制条件
2. 总可在$O(logn)$时间内，使这$O(1)$处局部(以至全树)重新满足限制条件

这就意味着：
刚刚失去平衡的二叉搜索树，必然可以迅速转换为一棵等价的平衡二叉搜索树。

等价二叉搜索树之间的上述转换过程，也称作等价变换。

最基本的修复失衡二叉搜索树手段，就是通过围绕特定节点的旋转，实现等价前提下的局部拓扑调整。

zig和zag

如上图$(a)$所示，设$c$和$Z$是$v$的左孩子、右子树，$X$和$Y$是$c$的左、右子树。所谓以$v$为轴的zig旋转，即如上图$(b)$所示，重新调整这两个节点与三棵子树的联接关系：
将$X$和$v$作为$c$的左子树、右孩子，$Y$和$Z$分别作为$v$的左、右子树。

可见，尽管局部结构以及子树根均有变化，中序遍历序列仍是${ ..., X, c, Y, v, Z, ... }$，故zig旋转属于等价变换。

对称地如上图$(a)$所示，设$X$和$c$是$v$的左子树、右孩子，$Y$和$Z$分别是$c$的左、右子树。所谓以$v$为轴的zag旋转，即如上图$(b)$所示，重新调整这两个节点与三棵子树的联接关系：
将$v$和$Z$作为$c$的左孩子、右子树，$X$和$Y$分别作为$v$的左、右子树。

同样地，旋转之后中序遍历序列依然不变，故zag旋转亦属等价变换。

zig和zag旋转均属局部操作，仅涉及常数个节点及其之间的联接关系，故均可在常数时间内完成。正因如此，在实现各种二叉搜索树平衡化算法时，它们都是支撑性的基本操作。

就与树相关的指标而言，经一次zig或zag旋转之后，节点$v$的深度加一，节点$c$的深度减一；这一局部子树(乃至全树)的高度可能发生变化，但上、下幅度均不超过一层。

AVL树

通过合理设定适度平衡的标准，并借助以上等价变换，AVL树(AVL tree)可以实现近乎理想的平衡。在渐进意义下，AVL树可始终将其高度控制在$O(logn)$以内，从而保证每次查找、插入或删除操作，均可在$O(logn)$的时间内完成。

任一节点$v$的平衡因子(balance factor)定义为“其左、右子树的高度差”，即：
$balFac(v)=height(lc(v)) - height(rc(v))$
请注意，空树高度取$-1$，单节点子树(叶节点)高度取$0$，与以上定义没有冲突。

所谓AVL树，即平衡因子受限的二叉搜索树——其中各节点平衡因子的绝对值均不超过1

在完全二叉树中各节点的平衡因子非0即1，故完全二叉树必是AVL树

失衡与重平衡

AVL树与常规的二叉搜索树一样，也应支持插入、删除等动态修改操作。但经过这类操作之后，节点的高度可能发生变化，以致于不再满足AVL树的条件。

以插入操作为例，考查上图$(b)$中的AVL树，其中的关键码为字符类型。现插入关键码$'M'$，于是如图$(c)$所示，节点$'N'$、 $'R'$和$'G'$都将失衡。类似地，摘除关键码$'Y'$之后，也会如图$(a)$所示导致节点$'R'$的失衡。

如此因节点$x$的插入或删除而暂时失衡的节点，构成失衡节点集，记作$UT(x)$。请注意，若$x$为被摘除的节点，则$UT(x)$仅含单个节点；但若$x$为被引入的节点，则$UT(x)$可能包含多个节点。

节点插入

不难看出，新引入节点$x$后，$UT(x)$中的节点都是$x$的祖先，且高度不低于$x$的祖父。以下，将其中的最深者记作$g(x)$。在$x$与$g(x)$之间的通路上，设$p$为$g(x)$的孩子，$v$为$p$的孩子。注意，既然$g(x)$不低于$x$的祖父，则$p$必是$x$的真祖先。

首先，需要找到如上定义的$g(x)$。为此，可从$x$出发沿$parent$指针逐层上行并核对平衡因子，首次遇到的失衡祖先即为$g(x)$。既然原树是平衡的，故这一过程只需$O(logn)$时间。

根据节点$g(x)$、$p$和$v$之间具体的联接方向,将采用不同的局部调整方案：

如上图$(a)$所示，设$v$是$p$的右孩子，且$p$是$g$的右孩子。这种情况下，必是由于在子树$v$中刚插入某节点$x$，而使$g(x)$不再平衡。图中以虚线联接的每一对灰色方块中，其一对应于节点$x$，另一为空。
此时，可做逆时针旋转zag($g(x)$)，得到如图$(b)$所示的另一棵等价二叉搜索树。
可见，经如此调整之后，$g(x)$必将恢复平衡。不难验证，通过zig($g(x)$)可以处理对称的失衡。

如上图$(a)$所示，设节点$v$是$p$的左孩子，而$p$是$g(x)$的右孩子。这种情况，也必是由于在子树$v$中插入了新节点$x$，而致使$g(x)$不再平衡。同样地，在图中以虚线联接的每一对灰色方块中，其一对应于新节点$x$，另一为空。
此时，可先做顺时针旋转zig($p$)，得到如图$(b)$所示的一棵等价二叉搜索树。再做逆时针旋转zag($g(x)$)，得到如图$(c)$所示的另一棵等价二叉搜索树。
此类分别以父子节点为轴、方向互逆的连续两次旋转，合称“双旋调整”。可见，经如此调整之后，$g(x)$亦必将重新平衡。不难验证，通过zag($p$)和zig($g(x)$)可以处理对称的情况。

无论单旋或双旋，经局部调整之后，不仅$g(x)$能够重获平衡，而且局部子树的高度也必将复原。这就意味着，$g(x)$以上所有祖先的平衡因子亦将统一地复原——换而言之，在AVL树中插入新节点后，仅需不超过两次旋转，即可使整树恢复平衡。

AVL树的节点插入操作可以在$O(logn)$时间内完成。

节点删除

与插入操作十分不同，在摘除节点$x$后，以及随后的调整过程中，失衡节点集$UT(x)$始终至多只含一个节点。而且若该节点$g(x)$存在，其高度必与失衡前相同。
另外还有一点重要的差异是，$g(x)$有可能就是$x$的父亲。

与插入操作同理，从_hot节点出发沿$parent$指针上行，经过$O(logn)$时间即可确定$g(x)$位置。作为失衡节点的$g(x)$，在不包含$x$的一侧，必有一个非空孩子$p$，且$p$的高度至少为1。于是，可按以下规则从$p$的两个孩子(其一可能为空)中选出节点$v$：
若两个孩子不等高，则$v$取作其中的更高者；否则，优先取$v$与$p$同向者(亦即，$v$与$p$同为左孩子，或者同为右孩子)。

以下不妨假定失衡后$g(x)$的平衡因子为+2(为-2的情况完全对称)。根据祖孙三代节点$g(x)$、$p$和$v$的位置关系，通过以$g(x)$和$p$为轴的适当旋转，同样可以使得这一局部恢复平衡。

如上图$(a)$所示，由于在$T3$中删除了节点而致使$g(x)$不再平衡，但$p$的平衡因子非负时，通过以$g(x)$为轴顺时针旋转一次即可恢复局部的平衡。平衡后的局部子树如图$(b)$所示。
同样地这里约定，图中以虚线联接的灰色方块所对应的节点，不能同时为空；$T2$底部的灰色方块所对应的节点，可能为空，也可能非空。

如上图$(a)$所示，$g(x)$失衡时若$p$的平衡因子为-1，则经过以$p$为轴的一次逆时针旋转之后(图$(b)$)，接着再以$g(x)$为轴顺时针旋转，即可恢复局部平衡(图$(c)$)。

对于删除节点操作，$g(x)$恢复平衡之后，局部子树的高度可能降低。对于插入节点操作，重平衡后不仅能恢复子树的平衡性，也同时能恢复子树的高度。

与插入操作不同，在删除节点之后，尽管也可通过单旋或双旋调整使局部子树恢复平衡，但就全局而言，依然可能再次失衡。对于删除节点操作，若$g(x)$原本属于某一更高祖先的更短分支，则因为该分支现在又进一步缩短，从而会致使该祖先失衡。在摘除节点之后的调整过程中，这种由于低层失衡节点的重平衡而致使其更高层祖先失衡的现象，称作“失衡传播”。

失衡传播的方向必然自底而上，而不致于影响到后代节点。在此过程中的任一时刻，至多只有一个失衡的节点；高层的某一节点由平衡转为失衡，只可能发生在下层失衡节点恢复平衡之后。因此，可沿$parent$指针逐层遍历所有祖先，每找到一个失衡的祖先节点，即可套用以上方法使之恢复平衡。

统一重平衡算法——“3 + 4”重构

无论对于插入或删除操作，从刚发生修改的位置$x$出发逆行而上，直至遇到最低的失衡节点$g(x)$。于是在$g(x)$更高一侧的子树内，其孩子节点$p$和孙子节点$v$必然存在，而且这一局部必然可以$g(x)$、$p$和$v$为界，分解为四棵子树——将它们按中序遍历次序重命名为$T0$ 至$T3$。

若同样按照中序遍历次序，重新排列$g(x)$、$p$和$v$，并将其命名为$a$、$b$和$c$，则这一局部的中序遍历序列应为：
{$T0 , a, T1 , b, T2 , c, T3$}

将这三个节点与四棵子树重新如上“组装”起来，恰好即是一棵AVL树。

结语

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