【计算理论】下推自动机 PDA 及 计算示例

I . 下推自动机

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1 . 下推自动机 由来 : 下推自动机 ( PDA ) 是在 确定性有限自动机 ( DFA ) 基础上 扩展而来的 ;

2 . 下面是 下推自动机 ( PDA ) 的示意图 :

① 输入字符串 : 将输入的字符写在右侧的带子上 ;

② 开始状态 : 读取指针 ( 读头 ) 开始指向最左端字符 , 此时处于开始状态 ;

③ 启动自动机 , 自动机根据读取的指令进行计算 ;

④ 读取指令 : 每读取一个字符 , 自动机跳转到一个新的状态 , 指针向后移动一个格子 ;

⑤ 自动机停止 : 当读取指针指向输入的最右端 , 此时自动机就停止了 , 此时查看当前状态 , 如果当前是接受状态 , 称自动机接受该字符串 ( 带子上写的字符组成的字符串 ) , 反之 , 自动机不接受该字符串 ;

II . 下推自动机 计算过程

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1 . 下推自动机 ( PDA ) 提升了自动机计算能力 : 在上述自动机的基础上 , 提升该自动机的计算能力 , 引入一个新的栈结构 ;

栈特点 : ① 后进先出 , ② 存储能力无限 ;

2 . 下推自动机计算有两个部分 , 一个是字符的读取 , 一个是栈内字符的存取 , 栈内只有最上面的字符会被替换 ;

3 . 下推自动机 ( PDA ) 的指令格式 : 该指令包含了 上述讲的两个操作 ;

$1 , 0 \to \varepsilon$

① 自动机字符读取 : 左侧的 $1$ 是从带子上读取的字符 ;

② 栈内字符存取操作 : $0 \to \varepsilon$ 是需要在栈上进行的操作 , 将栈顶的 $0$ 取出 , 然后将 $\varepsilon$ 放入到栈中 , 相当于在栈中 , 使用 $\varepsilon$ 将栈顶的 $0$ 替换掉 ;

III . 下推自动机 计算结果

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1 . 下推自动机 ( PDA ) 是否接受字符串 : 将带子上的字符全部读取完毕后 , 此时的状态如果是 接受状态 , 那么带子上的字符组成的字符串就可以被 下推自动机接受 ;

2 . 计算能力 : 下推自动机 ( PDA ) 比 确定性有限自动机 ( DFA ) 多了栈上的操作 , 下推自动机 ( PDA ) 的计算能力比有限自动机 ( DFA ) 计算能力高 ;

3 . 语言识别能力 : 确定性有限自动机 ( DFA ) 是不能识别 $\{ 0^n 1^n : n \geq 0\}$ 语言的 , 但是 下推自动机 ( PDA ) 是可以认识该语言的 ;

IV . 下推自动机 计算示例

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上图的下推自动机有 $4$ 个状态 $q_1 , q_2 , q_3 , q_4$ ;

读取 $0011$ 字符串 , 并给出 下推自动机 计算过程 ;

$\varepsilon , \varepsilon \to S$ 指令含义 : 当读取 $\varepsilon$ 字符后 , $\varepsilon \to S$ 指的是在栈上的操作 , 从栈内取出 $\varepsilon$ 字符 , 向栈内放入一个 $S$ 字符 , 本质是在栈中使用 $S$ 替换 $\varepsilon$ 字符 ;

1 . 开始状态 是 $q_1$ , 此时读头指向 $0$ 位置 , 栈内是空的 ;

2 . 开始状态 $q_1$ : 读取 $\varepsilon , \varepsilon \to S$ 指令 , 读取 $\varepsilon$ 字符后 , $\varepsilon \to S$ 指的是在栈上的操作 , 从栈内拿走 $\varepsilon$ , $\varepsilon$ 是空字符 , 相当于不用拿 , 并将 $S$ 字符放入栈 , 相当于使用 $S$ 替换 栈内 空字符 $\varepsilon$ ,

$S$ 字符的作用 : 下推自动机是无法识别栈底的 , $S$ 作用是辅助下推自动机识别栈底元素 , 当下推自动机读取到 $S$ 时 , 就知道已经读取到栈底了 ;

开始状态 读取字符 操作 $\varepsilon , \varepsilon \to S$ , 最终向栈中放入了字符 $S$ ;

状态跳转 : 此时 自动机状态 跳转到了 $q_2$ 状态 ;

3 . $q_2$ 状态 : 读取 $0 , \varepsilon \to 0$ 指令 , 读取到一个 $0$ , 从栈内拿走 $\varepsilon$ , 使用 $0$ 替换 $\varepsilon$ , 并将该替换后的 $0$ 放入栈中 ; 相当于在栈中 , 使用 $0$ 替换 $\varepsilon$ ; 之后依然保持 $q_2$ 状态不变 ;

状态跳转 : 下推自动机状态 仍保持 $q_2$ 状态 ;

4 . $q_2$ 状态 : 再次读取 $0 , \varepsilon \to 0$ 指令 , 读取到一个 $0$ , 从栈内拿走 $0$ 字符 , 使用 $0$ 替换 $\varepsilon$ , 并将该替换后的 $0$ 放入栈中 ; 之后依然保持 $q_2$ 状态不变 ;

状态跳转 : 下推自动机状态 仍保持 $q_2$ 状态 ;

5 . $q_2$ 状态 , 读取 $1 , 0 \to \varepsilon$ 指令 , 读取到一个 $1$ , 从栈中拿走一个 $0$ , 并将 $\varepsilon$ 放入栈中 , $\varepsilon$ 是空字符串 , 从栈内拿取放入 $\varepsilon$ 栈不变 , 相当于将一个 $0$ 从栈内拿出 ;

状态跳转 : 下推自动机状态 从 $q_2$ 状态跳转到 $q_3$ 状态 ;

6 . $q_3$ 状态 : 读取 $1 , 0 \to \varepsilon$ 指令 , 从栈中 , 拿走一个 $0$ , 将 $\varepsilon$ 放入栈内 , 相当于在栈内使用 $\varepsilon$ 空字符 替换 $0$ , 操作完成后 , 栈内少一个 $0$ ;

状态跳转 : 下推自动机状态 仍保持 $q_3$ 状态 ;

7 . $q_3$ 状态 , 读头读取到了最右端 , 所有字符都读取完毕 , 此时不需要读取任何字符 , 读取 $\varepsilon , S \to \varepsilon$ 指令 , 从栈内拿走 $S$ , 将 $\varepsilon$ 放入栈中 , 跳转到 $q_4$ 状态 ;

此时 , 栈清空 , 下推自动机停止计算 ;

$q_4$ 是个双圈 , 接受状态 , 说明该下推自动机接受该 $0011$ 字符串 ;