【计算理论】上下文无关语法 ( CFG ) 转为 下推自动机 ( PDA )

I . 上下文无关语法 ( CFG ) 转为 下推自动机 ( PDA )

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上下文无关语法 ( CFG ) :

$S \to aTb | b$
$T \to Ta|\varepsilon$

将上述 上下文无关语法 ( CFG ) 转为 下推自动机 ;

II . 下推自动机 ( PDA ) 三个状态

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该 自动机 共包含 $3$ 个状态 , $q_{start}$ , $q_{loop}$ , $q_{accept}$ , 最后一个状态是 可接受状态 ;

III . 下推自动机 ( PDA ) $q_{start}$ 状态

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1 . 首先在 栈顶 放入 $K$ 字符 , 用于当做栈底的标识 ;

生成指令 : $\varepsilon , \varepsilon \to K$ ;

开始状态 $q_{start}$ 状态 , 读取 $\varepsilon , \varepsilon \to K$ 指令 , 读取空字符 , 使用 $K$ 替换栈顶的空字符 , 就是将 $K$ 放入栈中 ;

状态跳转 : 之后跳转到 $q_{loop}$ 状态 ;

当前的 下推自动机 ( CFG ) 设计 :

IV . 下推自动机 ( PDA ) $q_{loop}$ 状态

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1 . $q_{loop}$ 状态下 在栈中模仿 上下文无关语法 ( CFG ) 的规则替换 ;

上下文无关语法 ( CFG ) :

$S \to aTb | b$
$T \to Ta|\varepsilon$

2 . 对照上述 上下文无关语法 ( CFG ) , 逐条生成指令 :

① $S \to aTb$ 对应的指令 : $\varepsilon , S \to aTb$ , 读取 $\varepsilon$ 时 , 使用 $aTb$ 替换栈顶的 $S$ ; 即如果栈顶是 $S$ , 使用 $aTb$ 替换栈顶的 $S$ ;

② $S \to b$ 对应的指令 : $\varepsilon , S \to b$ , 读取 $\varepsilon$ 时 , 使用 $b$ 替换栈顶的 $S$ ; 即如果栈顶是 $S$ , 使用 $b$ 替换栈顶的 $S$ ;

③ $T \to Ta$ 对应的指令 : $\varepsilon , T \to Ta$ , 读取 $\varepsilon$ 时 , 使用 $Ta$ 替换栈顶的 $T$ ; 即如果栈顶是 $T$ , 使用 $Ta$ 替换栈顶的 $T$ ;

④ $T \to \varepsilon$ 对应的指令 : $\varepsilon , T \to \varepsilon$ , 读取 $\varepsilon$ 时 , 使用 $\varepsilon$ 替换栈顶的 $T$ ; 即如果栈顶是 $T$ , 使用 $\varepsilon$ 替换栈顶的 $T$ ;

⑤ 如果栈上有终端字符 $a$ , 要将栈里的终端字符 $a$ 移除 , 对应指令是 $a , a \to \varepsilon$ , 如果读取到字符 $a$ 时 , 从栈顶将字符 $a$ 移除 ;

⑥ 如果栈上有终端字符 $b$ , 要将栈里的终端字符 $b$ 移除 , 对应指令是 $b , b \to \varepsilon$ , 如果读取到字符 $b$ 时 , 从栈顶将字符 $b$ 移除 ;

V . 下推自动机 ( PDA ) $q_{accept}$ 状态

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1 . $q_{accept}$ 状态 :

在 $q_{loop}$ 状态下 , 将栈内的除 $K$ 外所有的字符都移除完毕 , 开始向 $q_{accept}$ 状态跳转 ;

此时需要生成指令 $\varepsilon , K \to \varepsilon$ , 读取 空字符 $\varepsilon$ , 使用 空字符 $\varepsilon$ 替换栈顶的 $K$ 字符 , 此时栈清空了 ;

VI . 下推自动机 ( PDA ) 指令分解

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1 . 非法指令分解

上述生成的

• $\varepsilon , S \to aTb$
• $\varepsilon , T \to Ta$

两个指令是不合法的 , 在栈中 , 一个字符 ( 或空字符串 $\varepsilon$ ) 只能由 一个字符 ( 或空字符串 $\varepsilon$ ) 替换 ;

上述不合法的规则 , 多个字符替换栈顶的一个字符 , 需要进行分解操作 ;

2 . $\varepsilon , S \to aTb$ 指令分解流程 :

① $q_{loop}$ 状态 跳转到 新的状态 $q_{loop1}$ , 跳转读取的指令时 $\varepsilon , S \to b$ , 读取空字符 , 然后使用 $b$ 替换栈顶的 $S$ 字符 ;

② $q_{loop1}$ 状态 跳转到 新的状态 $q_{loop2}$ , 跳转读取的指令时 $\varepsilon , \varepsilon \to T$ , 读取空字符 , 然后使用 $T$ 替换栈顶的 $\varepsilon$ 字符 , 相当于在栈中放入了 $T$ 字符 ;

③ $q_{loop2}$ 状态 跳转到 原来的状态 $q_{loop}$ , 跳转读取的指令时 $\varepsilon , \varepsilon \to a$ , 读取空字符 , 然后使用 $a$ 替换栈顶的 $\varepsilon$ 字符 , 相当于在栈中放入了 $a$ 字符 ;

分解 $\varepsilon , S \to aTb$ 后的 $3$ 个指令 :

• $\varepsilon , S \to b$
• $\varepsilon , \varepsilon \to T$
• $\varepsilon , \varepsilon \to a$

上述三个指令都是合法的 , 上述 $3$ 个指令 串联后的效果等价于 $\varepsilon , S \to aTb$ 操作 , 等价于上下文无关语法的 $S \to aTb$ 规则效果 ;

3 . $\varepsilon , T \to Ta$ 指令分解流程 :

① $q_{loop}$ 状态 跳转到 新的状态 $q_{loop3}$ , 跳转读取的指令时 $\varepsilon , S \to a$ , 读取空字符 , 然后使用 $a$ 替换栈顶的 $S$ 字符 ;

② $q_{loop3}$ 状态 跳转到 原来的状态 $q_{loop}$ , 跳转读取的指令时 $\varepsilon , \varepsilon \to T$ , 读取空字符 , 然后使用 $T$ 替换栈顶的 $\varepsilon$ 字符 , 相当于在栈中放入了 $T$ 字符 ;

分解 $\varepsilon , T \to Ta$ 后的 $2$ 个指令 :

• $\varepsilon , S \to a$
• $\varepsilon , \varepsilon \to T$

上述 $2$ 个指令都是合法的 , 上述 $2$ 个指令 串联后的效果等价于 $\varepsilon , T \to Ta$ 指令 , 等价于上下文无关语法的 $T \to Ta$ 规则效果 ;

VII . 最终转换成的 下推自动机 ( PDA ) 结果

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最终的 上下文无关语法 ( CFG ) 转为的 下推自动机 ( PDA ) 样式 :

上下文无关语法 ( CFG ) 与 下推自动机 ( PDA ) 是等价的 , 给定一个 下推自动机 ( PDA ) , 构造 上下文无关语法 ( CFG ) , 该语法生成的语言 , 就是该 下推自动机 ( PDA ) 所认识的语言 ;