经典数数题

「PKUWC2018」猎人杀

• 我们硬点一个集合在 1 后面死然后容斥
  考虑每次在 $[1,n]$ 随机，如果不在集合 $S$ 中就跳过，那么每个人死亡的概率是一样的，证明如下
  $\frac{w_t} {\sum_{i\in S}w_i}=\frac{w_t}{\sum_{i=1}^nw_i}(\sum_{i=0}^n(\frac{\sum_{j=1}^nw_j-\sum_{j\in S}w_j}{\sum_{j=1}^nw_j})^i)$
  分治 $ntt$ 算一下大小为 $Sum$ 的集合个数（带容斥系数）

【集训队作业2018】喂鸽子

• 考虑 $min-max$ 容斥，我们对一个集合 $S$ 求出它当中第一个喂饱的期望，假设第一个喂饱的时间为 $t$，我们用方案数除以总方案即 $|S|^t$ 就可以得到期望，方案数写成 $egf$ 的形式就是（我们钦定一个最先饱，那么总方案乘上 $|S|$ 即可）
  $t![x^t]\frac{x^k}{(k-1)!}(\sum_{i=0}^{k-1}\frac{x^i}{i!})^{|S|-1}*\frac{1}{|S|^t}*\frac{n*t}{|S|}*|S|$
  注意到 $f^t(x)=(\sum_{i=0}^{k-1}\frac{x^i}{i!})^t$ 是可以递推的
  $f^t(x)'=tf^{t-1}(x)(f(x)-\frac{x^{k-1}}{(k-1)!})\\ (n+1)[x^{n+1}]f^t(x)=t[x^n]f^t(x)-t[x^{n-k+1}]\frac{f^{t-1}(x)}{(k-1)!}$
  $O(n^2k)$

【UR #19】通用测评号

• 考虑对一个点统计它满了存在一个其它没有满的概率，最后乘上 $n$ 即可
  我们硬点一个集合 $S$，求出这个点满了其它的都没有满的概率最后容斥，写成 $egf$ 的形式就是
  $(t+a-1)![x^{t+a}]\frac{x^a}{(a-1)!}(\sum_{i=0}^{b-1}\frac{x^i}{i!})^{|S|}\frac{1}{(|S|+1)^{t+a}}$
  $O(n^3)$