例題十三

例13.9 設 $f(x)$ 在點 $x=0$ 處存在二階導數 $f''(0)$ ，且 $\lim\limits_{x\to0}\cfrac{f(x)}{x}=0$ 。試證明級數 $\sum\limits_{n=k}^\infty\left|f\left(\cfrac{1}{n}\right)\right|$ 收斂，其中 $k$ 爲足夠大的正整數。

解由 $\lim\limits_{x\to0}\cfrac{f(x)}{x}=0$ 及 $f(x)$ 在點 $x=0$ 處連續可知 $f(0)=0$ ，且 $f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\cfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\cfrac{f(x)}{x}=0$ ，於是
$\lim\limits_{x\to0}\cfrac{f(x)}{x^2}\xlongequal{\text{洛必達法則}}\lim\limits_{x\to0}\cfrac{f'(x)}{2x}=\lim\limits_{x\to0}\cfrac{f'(x)-f'(0)}{2(x-0)}=\cfrac{1}{2}f''(0).$
所以 $\lim\limits_{n\to\infty}\cfrac{\left|f\left(\cfrac{1}{n}\right)\right|}{\cfrac{1}{n^2}}=\cfrac{1}{2}|f''(0)|$ 。用比較判別法的極限形式，級數 $\sum\limits_{n=k}^\infty\cfrac{1}{n^2}$ 收斂，故 $\sum\limits_{n=k}^\infty\left|f\left(\cfrac{1}{n}\right)\right|$ 收斂。（這道題主要利用了比較判別法求解）

例13.12 已知級數 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 絕對收斂，判斷 $\sum\limits_{n=1}^\infty\cfrac{u_n^2}{1+u_n^2}$ 的斂散性，其中 $u_n\ne0$ 。

解由不等式 $a^2+b^2\geqslant2ab$ ，可知 $1+u_n^2\geqslant2|u_n|$ ，於是 $\cfrac{u_n^2}{1+u_n^2}\leqslant\cfrac{u_n^2}{2|u_n|}=\cfrac{|u_n|}{2}$ ，由題設知 $\sum\limits_{n=1}^\infty\cfrac{|u_n|}{2}$ 收斂，又 $\sum\limits_{n=1}^\infty\cfrac{u_n^2}{1+u_n^2}$ 是正項級數，根據正項級數的比較判別法，原級數收斂。（這道題主要利用了不等式變換求解）

例13.30 設 $a_0=3,3na_n+3(n-1)a_{n-1}=2a_{n-1}$ ，證明當 $|x|<1$ 時， $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n$ 收斂，並求其和函數。

解由題設遞推式，得 $na_n=\left(\cfrac{5}{3}-n\right)a_{n-1}$ ，按正項級數的比值判別法，記 $u_n(x)=a_nx^n$ ，有
$\lim\limits_{n\to\infty}\left|\cfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\cfrac{u_{n}(x)}{u_{n-1}(x)}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\cfrac{a_nx^n}{a_{n-1}x^{n-1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\cfrac{a_n}{a_{n-1}}\right||x|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\cfrac{\cfrac{5}{3}-n}{n}\right||x|=|x|<1$
即當 $|x|<1$ 時， $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n$ 收斂。記 $S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n$ ，則
$\begin{aligned} S(x)&=\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\cfrac{1}{n}\left(\cfrac{5}{3}-n\right)a_{n-1}x^n\\ &=\sum\limits_{n=1}^\infty\cfrac{1}{n}\left(\cfrac{5}{3}a_{n-1}-na_{n-1}\right)x^n=\cfrac{5}{3}\sum\limits_{n=1}^\infty\cfrac{1}{n}a_{n-1}x^n-\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n-1}x^n\\ &=\cfrac{5}{3}\displaystyle\int^x_0\left(\sum\limits_{n=1}^\infty\cfrac{1}{n}a_{n-1}t^n\right)'\mathrm{d}t-x\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n-1}x^n\\ &=\cfrac{5}{3}\displaystyle\int^x_0\left(\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n-1}t^{n-1}\right)\mathrm{d}t-x\left(\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}x^n+a_0\right)\\ &=\cfrac{5}{3}\displaystyle\int^x_0\left(\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}t^{n}+a_0\right)\mathrm{d}t-x\left(\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}x^n+a_0\right)\\ &=\cfrac{5}{3}\displaystyle\int^x_0[S(t)+3]\mathrm{d}t-x[S(x)+3]. \end{aligned}$
對 $S(x)$ 求導，得 $S'(x)=\cfrac{5}{3}[S(t)+3]\mathrm{d}t-[S(x)+3]-xS'(x)$ ，整理得
$\begin{aligned} &(1+x)S'(x)=\cfrac{2}{3}[S(x)+3]\\ \Rightarrow&\cfrac{S'(x)}{S(x)+3}=\cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{1}{1+x}\\ \Rightarrow&\ln[S(x)+3]=\cfrac{2}{3}\ln(1+x)+\ln C\\ \Rightarrow&\cfrac{S(x)+3}{(1+x)^{\frac{2}{3}}}=C\\ \Rightarrow&S(x)=3(1+x)^{\frac{2}{3}}-3,|x|<1 \end{aligned}$
（這道題主要利用了微分方程核比值判別法求解）

習題十三

13.5 討論級數 $\sum\limits_{n=3}^\infty\cfrac{(-1)^n}{(n^2-3n+2)^x}$ 的斂散性， $x$ 爲實數。

解因爲 $|u_n|=\cfrac{1}{(n^2-3n+2)^x}\sim\cfrac{1}{n^{2x}}(n\to\infty)$ ，當 $x>0$ 時， $\cfrac{1}{n^{2x}}\to+\infty$ ，故原級數發散；當 $x=0$ 時， $\cfrac{1}{n^{2x}}=1\ne0$ ，故原級數發散；當 $x>\cfrac{1}{2}$ 時， $\sum\limits_{n=3}^\infty\cfrac{(-1)^n}{(n^2-3n+2)^x}$ 絕對收斂；當 $0<x\leqslant\cfrac{1}{2}$ 時， $\sum\limits_{n=3}^\infty|u_n|$ 發散，但 $|u_n|$ 單調遞減趨於零，且原級數爲交錯級數，故條件收斂。（這道題主要利用了分類討論求解）