一年在外 父母時刻牽掛
春節回家 你能做幾天好孩子嗎
寒假裏嘗試做做下面的事情吧
陪媽媽逛一次菜場
悄悄給爸爸買個小禮物
主動地 強烈地 要求洗一次碗
某一天早起 給爸媽用心地做回早餐
如果願意 你還可以和爸媽說
咱們玩個小遊戲吧 ACM課上學的呢～
下面是一個二人小遊戲：桌子上有M堆撲克牌；每堆牌的數量分別爲Ni(i=1…M)；兩人輪流進行；每走一步可以任意選擇一堆並取走其中的任意張牌；桌子上的撲克全部取光，則遊戲結束；最後一次取牌的人爲勝者。
現在我們不想研究到底先手爲勝還是爲負，我只想問大家：
——“先手的人如果想贏，第一步有幾種選擇呢？”Input
輸入數據包含多個測試用例，每個測試用例佔2行，首先一行包含一個整數M(1<M<=100)，表示撲克牌的堆數，緊接着一行包含M個整數Ni(1<=Ni<=1000000，i=1…M)，分別表示M堆撲克的數量。M爲0則表示輸入數據的結束。
Output
如果先手的人能贏，請輸出他第一步可行的方案數，否則請輸出0，每個實例的輸出佔一行。
Sample Input
3 5 7 9 0Sample Output
1
思路：一個基礎的Nim博弈，首先我們要知道一個東西就是a1^a2^a3....an=0的話那麼先手必敗，
若a1^a2^...^an!=0，一定存在某個合法的移動，將ai改變成ai'後滿足a1^a2^...^ai'^...^an=0。若a1^a2^...^an=k，則一定存在某個ai，它的二進制 表示在k的最高位上是1（否則k的最高位那個1是怎麼得到的）。這時ai^k<ai一定成立。則我們可以將ai改變成ai'=ai^k，那麼最後^起來還是爲0
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=105;
int a[N];
int main(){
int n,temp=0,cnt;
while(cin>>n&&n){
cnt=0;
temp=0;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>a[i];
temp^=a[i];
}
for(int i=0;i<n;i++){
int t=a[i]^temp;
if(a[i]>t) cnt++;//該堆石子在二進制的最高位上
}
cout<<cnt<<endl;
}
return 0;
}
常見博弈總結：
1.Nim博弈
n堆石子，兩人輪流取，只能在一堆中取，規定每次至少取一個，最多取一堆，最後取完者獲勝
用0與每個數異或,如最後結果爲0,則後手勝
- 設一數組a[m],令sum=0
- 循環與數組每一個數據異或（sum^=a[i]）
- sum最後等於0則後手勝
0異或各堆物品，結果爲零————後手勝
//a[m]每堆物品的數量 sum=0
int Nimm_Game(int m)
{
for(int i=0;i<m;i++)
sum = sum ^ a[i];
if(sum == 0)
return 0;
return 1;
}
2.巴什博弈
只有一堆n個物品，兩個人A，B輪流從這堆物品中取物，規定每次至少取一個，最多取m個，取最後一個物品的人得勝
分析：
- 當 n = m + 1 時，第一個人不可能獲勝；
- 當 n = k*(m + 1) + r 時，先取者拿走 r 個，那麼後者再拿（1~m）個 ， 此時 n =（k-1）*（m+1）+s先取者再拿走s 個 最後總能造成 剩下n=m+1 的局面
- 若n=k*(m+1) 那麼先取者必輸
int Bash_Game(int n,int m)
{
if (n%(m+1)==0) //後手勝
return 0;
return 1;
}
3.威佐夫博弈
兩堆各有若干個物品，兩人輪流從某一堆中任意取或者同時從兩堆中取同樣多的物品，最後取光着勝
- 兩堆石子的狀態爲 [ak,bk] （滿足ak<=bk）
- 當 ak=(k*(√5+1)/2), bk=ak+k 時滿足奇異局勢，那麼則先手輸，反之則先手贏
若（大-小）*(1+sqrt(5))/2==小————後手勝
t=(max(n,m)-min(n,m))*(1+sqrt(5))/2;
if(t==min(n,m)) 後手勝
else 先手勝
int Wythoff_Game(int a,int b)
{
double x=(1+sqrt(5))/2;
int n=b-a;
if(a==(int)(x*n))
return 1;
return 0;
}
4.環形博弈
n個石子圍成一個環，每次取一個或者取相鄰的兩個，取完最後石子的人勝
if 石子數<=2 先手勝
else 先手輸（消滅不對稱因素後對稱取石子）
5.斐波那契博弈
一堆石子n個
- 先手不能在第一次把所有的石子取完，至少取一顆
- 之後每次可以取得石子數至少爲1，至多爲對手取得石子數的2倍
- 約定取走最後一個石子的人爲贏家
結論：若n爲斐波那契數列,則後手勝
參考博客：https://blog.csdn.net/qq_40907279/article/details/83718880