C++关于质数的判定与筛法

前言：

     质数，是相伴了我们许久的老朋友，从小学到中学无处不在。

     质数，就是一个数的因子只有它自己或本身的数叫做质数。

     现在我们主要来讨论它的一些秘密。

质数的判定:

     首先是素数的判定定理：

     若从2到的数中，都没有它的约数，那么它一定是一个质数，不用解释应该就能明白，n=a*b（a<=b），则a最大为。

     代码如下：

for(int i=2;i*i<=n;i++)//n为待判定数，x为1，则n不是质数。
{
    if(n%i==0)
    {
       x=1;
       break;
    }
}

质数定理（Gauss & Legendre）：

      n充分大时，n以内的素数个数约等于n/logn个。（仅做了解，并不具体说明）。

质数的筛法:

     下面是对快速求1~n的质数的筛法的介绍。

埃拉托斯特尼筛法：

     相信大家并不对此感到陌生，就是划倍数的那个方法（在代码时，在做具体讲解）。

     我们现在来讨论它的时间复杂度。

     显然这里是存在被划掉许多次的数，如18，就会被2和3划两次。

     所以这种筛法并不是线性的。

     时间复杂度就是：

     

     代码如下：

for(int i=2;i<=n;i++)//枚举从2至N的正整数。
{
    if(!v[i])
    {
       k++;
       pr[k]=i;//pr存储质数
       for(int j=i*i;j<=n;j+=i)//枚举i的倍数。
            v[j]=1;
    }
}

欧拉筛法：

     这是一种基于整数的唯一分解的筛法。

     因为只会被时被划掉。

    所以这种筛法是线性的，时间复杂度为。

    代码如下：

for(int i=2;i<=x;i++)
{
	if(!v[i])
	{
		v[i]=1;
		k++;
		pr[k]=i;
	}
	for(int j=1;j<=k&&pr[j]*i<=x;j++)
	{
		v[pr[j]*i]=1;
		if(i%pr[j]==0)
			break;
	}
}