C++Legendre定理及其例題講解—————方程

前言：

Legendre定理是一個你無法想象到的定理，而它的用處也是十分的大，現在親聽我慢慢講解。

Legendre定理：

設n爲一個正整數，那麼在的標準素因子分解式中，素數p的最高次項爲，則

                                                              

當模數不爲素數，且不方便使用CRT進行合併時，可以考慮對組合數分解質因數，由於組合數可以寫爲一個階乘除以兩個階乘的形式，可以對這三個階乘分別分解質因數，然後使用指數的減法，得到最後組合數的標準分解。

證明我就不在這裏細說了，反正這個定理可以讓我們快速求出p的指數。

下面是例題。

題目描述：

求方程的非負整數解的組數

n,k≤100,000，答案對20080814取模

輸入：

僅一行，包含兩個正整數n,k。

輸出：

一個整數，表示方程不同解的個數，這個數可能很大，你只需輸出mod 20080814 的結果。

樣例輸入:

1 1

樣例輸出：

1

思路分析：

利用隔板法，答案爲

由於20080814=2*13*772339（3個均爲質因數），故可以用CRT。

也可以用Legendre定理分解階乘的質因數。

但是此題的輸入有坑，n，k需要特殊處理，詳見代碼。

代碼實現：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long
ll n,m,p[200005],w[200005],k,ans=1;
bool v[200005];
ll olsf()//歐拉篩法求素數
{
    for(ll i=2;i<=n+1;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            k++;
            p[k]=i;
            v[i] = 1;
        }
        for(ll j=1;j<=k&&p[j]*i<=n+1;j++)
        {
            v[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)
                break;
        }
    }
}
ll qkpow(ll x,ll y)//快速冪不解釋
{
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            ans=(ans*x)%20080814;
        x=(x*x)%20080814;
        y/=2;
    }
    return ans%20080814;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&m,&n);
    n=n+m-1;
    m--;
    olsf();
    for(ll i=1;i<=k;i++)//求分子的分解
        for(ll j=p[i];j<=n;j*=p[i])
            w[i]+=n/j;
    for(ll i=1;i<=k;i++)//求分母的分解
        for(ll j=p[i];j<=m;j*=p[i])
            w[i]-=m/j;
    for(ll i=1;i<=k;i++)
        for(ll j=p[i];j<=n-m;j*=p[i])
            w[i]-=(n-m)/j;
    for(ll i=1;i<=k;i++)
        ans=(ans*qkpow(p[i],w[i]))%20080814;
    printf("%lld",ans);
}

鳴謝大佬的詳解。