图像的傅里叶变换在频谱居中上的误区
如果你用MATLAB去计算图像的傅里叶变换那么你一定会用到FFTSHIFT这一函数为了保证计算后的频谱能够居中化。如下图。
Matlab代码：
clear all;
close all;
I = im2double(imread('cameraman.tif'));
imshowpair(I,log(abs(fftshift(fft2(I)))+1),'montage')
但是你如果去看matlab的介绍或者在计算FFT之后调用FFTSHIFT函数，那么经过该函数处理过的图像会变成如下形式。如下图。一定要注意：fftshift这一函数的调用是放在傅里叶变换之后的，这和频谱居中的真实计算原理（即，利用傅里叶变换的属性）根本就不一样，可以说是一种投机取巧的方法，但也不失为一个好的方法。
Matlab代码：
Ishift = fftshift(I);
imshow(Ishift,[])
并且MATLAB还给出了如下图所示的示意图，即交换四个象限。注意：所以MATLAB的这种做法是一种投机取巧的做法。
而实际情况不是这样的，根据傅里叶变换的属性或者说是傅里叶变换对。
要想对频域的信号进行移位，时域的信号需要乘以一个对应的指数函数。这条属性叫做频域移位特性。图像信号在进行变换之前需要对每一个像素乘以（-1）^x+y次方。这是根据欧拉公式计算出来的（注意：e^jπ = -1）。
Matlab代码：
Ie = zeros(size(I));
for i = 1:size(I,1)
for j = 1:size(I,2)
Ie(i,j) = (-1)^(i+j).*I(i,j);
end
end
imshowpair(I,Ie,'montage')
计算出来的图像如下，左边是原始图像，右图是乘以（-1）为底的幂函数后的图像。
简单点说就是一正一负，每隔一个像素乘以一个负号，得到的图像就好像黑白间隔的棋盘一样。如下图放大后的图像细节所示。而不是那种四个象限互换后的结果。
最后我用空间域图像乘以指数函数即（-1）^(x+y）的方式对图像的频谱进行居中化的操作，能够得到和MATLAB自带的函数fftshift一模一样的结果。如下图。
Wherefore，不论是一维信号的频谱还是二维信号的频谱，一定要记得真正的频谱居中不只是简单的fftshift或是四个象限的对调而是在进行变换之前，用一个指数函数乘以原始信号。而这个指数函数根据著名的欧拉公式e^jπ+1=0,最终变成了以（-1）为底的幂函数。
（全文完）
鸣谢：
【1】Digital image processing, Third Edition. 冈萨雷斯
【2】signals and systems，Second Edition. 奥本海姆
【3】Matlab 2017a
谢谢收看！
再见！
《圣经》箴言 14章12节 有一条路，人以为正，至终成为死亡之路。
*配图与本文无关*