[LOJ2541] 「PKUWC2018」獵人殺（分治+NTT）

題意

• 有$n$個人，每個人有一個權值$w_i$，每次隨機殺一個人，殺第$i$個人的概率是$\frac{w_i}{\sum_j[j\ is \ alive]}$，求第一個人最後一個死的概率，對$998244353$取模。

這題不是很難但是我自己太sb了所以看了很久。

第一個人最後一個死就代表恰好有$0$個人在第一個人之後死，算這個是個很套路的東西用容斥轉化爲至少，那麼設$f(S)$爲至少有$S$集合的人在第一個人之後死的概率，那麼$ans=\sum(-1)^{|S|}f(S)$，現在我們轉化成了求$f(S)$，實際上這個東西我們可以寫出一個式子：
$f(S)=\frac{w_1}{w_1+\sum w[w \in S]}$這個東西理解起來也不是很難，每次只有選擇$S$集合內的人擊殺或者$1$擊殺的時候纔會影響他們的相對死亡順序，而選中這裏面的人擊殺時必須要擊殺第一個人才滿足$S$集合都在$1$之後死，那麼我們發現$f(S)$只與$\sum_w[w\in S]$有關，又因爲題目中的條件有$\sum w\le10^5$，我們可以考慮計算出每個值的容斥係數，可以直接設$f[i][j]$表示考慮前$i$個人，權值和爲$j$時的容斥係數，用揹包的方法轉移就是$f[i][j] = f[i - 1][j] - f[i - 1][j - w_i]$，這樣子就可以得到$50$分的好成績了，但實際上由於數據比較水，在LOJ上可以通過$80$分。

我們設出這個東西的生成函數，第$i$項$a_ix^i$代表當前$dp_i=a_i$，那麼每次轉移就是乘上$(1-x^{w_i})$，分別代表是否把當前這個人加入集合的決策，那麼這個生成函數就是：
$\prod_{i = 2}^n(1-x^{w_i})$
這個東西直接分治，合併兩個區間的信息的時候用NTT計算就好了，這個東西開數組有點麻煩，那麼我們可以類似於線段樹動態開點回收空間的方法一樣，用完以後利用以前的空間，分治出最深的一條鏈深度應該是$\log n$的，那麼我們開$\log n$個數組就好了，複雜度$O(n\log ^2n)$。

#include <bits/stdc++.h>

#define x first
#define y second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define inf (0x3f3f3f3f)

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;

template<class T>inline T read(T &_) {
	T __ = getchar(), ___ = 1; _ = 0;
	for (; !isdigit(__); __ = getchar()) if (__ == '-') ___ = -1;
	for (; isdigit(__); __ = getchar()) _ = (_ << 3) + (_ << 1) + (__ ^ 48);
	return _ *= ___;
}

template<class T>inline bool chkmax(T &_, T __) { return _ < __ ? _ = __, 1 : 0; }
template<class T>inline bool chkmin(T &_, T __) { return _ > __ ? _ = __, 1 : 0; }

inline void proStatus() {
	ifstream t("/proc/self/status");
	cerr << string(istreambuf_iterator<char>(t), istreambuf_iterator<char>());
}

const int N = 1 << 18 | 1; 
const int mod = 998244353;

int w[N], f[N], A[N], B[N], rev[N], S[N], tp[33][N], cnt = -1;

inline int add(int x, int y) { return (x += y) < mod ? x : x - mod; }

inline int qpow(int _, int __) {
	int ___ = 1; 
	for (; __; __ >>= 1, _ = 1ll * _ * _ % mod) 
		if (__ & 1) ___ = 1ll * ___ * _ % mod;
	return ___;
}

inline void NTT(int *a, int n, int fh) {
	for (int i = 0; i < n; ++ i) 
		if (i < rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
	for (int Wn, limit = 2; limit <= n; limit <<= 1) {
		Wn = qpow(fh ^ 1 ? qpow(3, mod - 2) : 3, (mod - 1) / limit);
		for (int W = 1, j = 0; j < n; j += limit, W = 1) 
			for (int i = j; i < j + (limit >> 1); ++ i, W = 1ll * W * Wn % mod) {
				int a1 = a[i], a2 = 1ll * a[i + (limit >> 1)] * W % mod; 
				a[i] = add(a1, a2), a[i + (limit >> 1)] = add(a1, mod - a2);
			}
	}
	if (fh ^ 1) for (int inv = qpow(n, mod - 2), i = 0; i < n; ++ i) 
		a[i] = 1ll * a[i] * inv % mod;
}

inline void calc(int *a, int *b, int *c, int limit) {
	NTT(a, limit, 1), NTT(b, limit, 1);
	for (int i = 0; i < limit; ++ i) 
		c[i] = 1ll * a[i] * b[i] % mod;
	NTT(c, limit, -1);
}

inline void Solve(int l, int r, int *a) {
	if (l == r) return (void) (a[0] = 1, a[w[l]] = mod - 1);
	int mid = (l + r) >> 1, limit = 1, k = 0, a1 = ++ cnt, a2 = ++ cnt; 
	Solve(l, mid, tp[a1]), Solve(mid + 1, r, tp[a2]);
	for (; limit <= S[r] - S[l - 1]; ++ k) limit <<= 1; 
	for (int i = 0; i < limit; ++ i) 
		rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (k - 1));
	calc(tp[a1], tp[a2], a, limit), cnt -= 2;
	for (int i = 0; i < limit; ++ i) tp[a1][i] = tp[a2][i] = 0;
}

int main() {
#ifdef ylsakioi
	freopen("2541.in", "r", stdin);
	freopen("2541.out", "w", stdout);
#endif

	int n, ans = 0; 

	read(n);
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) 
		S[i] = S[i - 1] + read(w[i]);
	Solve(2, n, f);
	for (int i = 0; i <= S[n] - S[1]; ++ i) 
		ans = add(ans, 1ll * f[i] * qpow(w[1] + i, mod - 2) % mod);
	printf("%lld\n", 1ll * ans * w[1] % mod);

	return 0;
}