線性代數張宇9講 第四講 伴隨矩陣、初等矩陣與矩陣方程

例題四

例4.13  設$\bm{A}=\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}$問是否存在非單位矩陣$\bm{B}$，使得$\bm{AB}=\bm{A}$？若不存在，請說明理由；若存在，求出所有滿足$\bm{AB}=\bm{A}$的$\bm{B}(\bm{B}\ne\bm{E})$。

解  $\bm{AB}=\bm{A},\bm{A}(\bm{B}-\bm{E})=\bm{O},\bm{B}\ne\bm{E},\bm{B}-\bm{E}\ne\bm{O}$，故當$\bm{A}$可逆時，$\bm{Ax}=\bm{0}$有唯一零解，不存在$\bm{B}(\bm{B}\ne\bm{E})$，使得$\bm{AB}=\bm{A}$。
  當$\bm{A}$不可逆時，$\bm{Ax}=\bm{0}$有非零解，存在$\bm{B}(\bm{B}\ne\bm{E})$，使得$\bm{AB}=\bm{A}$成立。
$\bm{A}=\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&-2&-3\\0&2&2\\0&1&1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&-2&-3\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix},$
  故$\bm{A}$不可逆，且$\bm{Ax}=\bm{0}$有通解$\bm{x}=k[1,-1,1]^\mathrm{T}$，其中$k$爲任意常數。對於不全爲零的任意常數$k_1,k_2,k_3$，有
$\bm{B}-\bm{E}=\begin{bmatrix}k_1&k_2&k_3\\-k_1&-k_2&-k_3\\k_1&k_2&k_3\end{bmatrix},$
  則
$\bm{B}=\bm{E}+\begin{bmatrix}k_1&k_2&k_3\\-k_1&-k_2&-k_3\\k_1&k_2&k_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+k_1&k_2&k_3\\-k_1&1-k_2&-k_3\\k_1&k_2&1+k_3\end{bmatrix}\ne\bm{E},$
  且使$\bm{AB}=\bm{A}$成立。（這道題主要利用了構造齊次方程求解）

例4.14  設$\bm{A}=\begin{bmatrix}1&a\\1&0\end{bmatrix},\bm{B}=\begin{bmatrix}0&1\\1&b\end{bmatrix}$，當$a,b$爲何值時，存在矩陣$\bm{C}$，使得$\bm{AC}-\bm{CA}=\bm{B}$，並求所有的矩陣$C$。

解  設$\bm{C}=\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{bmatrix}$，則
$\begin{bmatrix}1&a\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&a\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\1&b\end{bmatrix},$
  得
$\begin{cases} -x_2+ax_3=0,\\ -ax_1+x_2+ax_4=1,\\ x_1-x_3-x_4=1,\\ x_2-ax_3=b, \end{cases}$
  對方程組的增廣矩陣作初等行變換，有
$\left[\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 0&-1&a&0\\ -a&1&0&a\\ 1&0&-1&-1\\ 0&1&-a&0 \end{matrix}& \begin{matrix} 0\\1\\1\\b \end{matrix} \end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&0&-1&-1\\ 0&1&-a&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{matrix}& \begin{matrix} 1\\0\\a+1\\b \end{matrix} \end{array}\right].$
  當$a\ne-1$或$b\ne0$時，方程組無解。
  當$a=-1$且$b=0$時，方程組有解，其同解方程組爲$\begin{cases}x_1-x_3-x_4=1,\\x_2+x_3=0,\end{cases}$通解爲
$\bm{x}=[1,0,0,0]^\mathrm{T}+k_1[1,-1,1,0]^\mathrm{T}+k_2[1,0,0,1]^\mathrm{T},$
  其中$k_1,k_2$爲任意常數。（這道題主要利用了增廣矩陣求解）

新版例題四

例4.8

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   另，關於矩陣的公式如下（部分證明見第五講向量的例題部分，傳送門在這裏）