OTFS Channel Estimation(1)

1.方法介紹

1.1 method in “MIMO-OTFS in High-Doppler Fading Channels: Signal Detection and Channel Estimation”

這篇paper中的信道估計方法其實之前的文章中也有提到，這裏我們再介紹一下：
在時延多普勒域有公式$\hat{x}_q[k,l]=\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}x_p[n,m]\frac{1}{NM}h_{\omega_{qp}}(\frac{k-n}{NT},\frac{l-m}{M\Delta f})+v_q[k,l]$我們控制發射信號$x_p[n,m]=\begin{cases} 1 & (n,m)=(n_p,m_p) \\ 0 & (n,m)\neq(n_p,m_p) \end{cases}$得到時延多普勒域接收信號$\hat{x}_q[k,l]=\frac{1}{NM}h_{\omega_{qp}}(\frac{k-n}{NT},\frac{l-m}{M\Delta f})+v_q[k,l]$從而得到信道估計的值$\frac{1}{NM}h_{\omega_{qp}}(\frac{k}{NT},\frac{l}{M\Delta f})$

圖1 信道響應示意圖

即在發送時延多普勒域的信號的時候，在($n_p,n_m$)處發送信號1，在其餘的地方信號爲0，這樣我們在接收到的信號中除去時延多普勒座標的影響，就可以正確地估計出信道。
對於MIMO信道，最重要的就是要避免信道響應產生重疊影響。根據圖二，我們可以得到一個事實：信道響應的範圍比調製範圍小得多，據此我們可以同時做一些數量較小的MIMO信道估計

這樣做信道估計的缺點也很明顯，對於信道數較多的情況做信道估計顯然不太現實，而且我們可以感覺到這種做法很粗糙，停留在理論設想階段。

1.2 method in “On OTFS Modulation for High-Doppler Fading Channels”

這篇論文的信道估計部分有我關注的part。
讓我精煉的闡述一下這篇文章信道估計的做法：

1.2.1前期準備

目的：求出時移參數$\delta_i$,多普勒參數$\nu_i$,以及衰落係數$\alpha_i$,這三個值知道了，我們就可以組合出信道。

首先我們有時域的輸入輸出表達式（這個部分和前一個直接在時延多普勒域進行估計的方法就有區別了）
$y(t)=\sum^{P}_{i=1}h_ix(t-\tau_i)e^{j2\pi \nu_i (t-\tau_i)}$將其離散化可以得到$R[n]=\sum_{i=1}^{P}\alpha_ie(\omega_i n)S[n-\delta_i]+v[n]$where $\alpha_i=h_i'e^{(j2\pi \nu_i K/W)},\delta_i=\tau_i W, \omega_i=N_p\nu_i /W$通過估計出$\alpha_i, \delta_i, \omega_i$來反解出我們的目的參數
同時定義內積運算$<f_1,f_2>=\sum_{n\in Z_{n_P}}f_1[n]f_2^*[n]$

1.2.2基於PN導頻的信道估計

1. 簡化表達式$R[n]=e(\omega_0 n)S[n-\delta_0]+v[]n$
2. 求內積$M(R,S)[\delta,\omega]=<R[n],e(\omega n)S[n-\delta]>$然後根據迭代對數定理，當$N_P\rightarrow \infty$時，以概率1的趨近於$M(R,S)[\delta,\omega]=\begin{cases} 1+\epsilon_{N_p}' & (\delta,\omega)=(\delta_0,\omega_0) \\ \epsilon_{N_p} & (\delta,\omega)\neq(\delta_0,\omega_0) \end{cases}$其中$|\epsilon_{N_p}'|\leq \frac{1}{\sqrt{N_p}}| ,|\epsilon_{N_p}|\leq \frac{C+1}{\sqrt{N_p}}$。

顯然對於這個方法的信道估計，只要檢測做完內積的大小，設置一個閾值，就能很容易的得到估計出來的$\delta_0,\omega_0$,這樣我們就估計出了時移和多普勒的值，接着要估計$\alpha_i$,可以得到式子$\alpha_i\approx M(R,S)[\delta,\omega]$這樣，我們信道估計就做完了

圖2 多徑信道的內積結果

1.2.3總結

這個方法估計信道值，由在時域相互正交的導頻來區別不同的用戶，已經隱含了多用戶的思想，理論上有多少個正交的導頻我們就可以估計出多少個不同用戶的信道。

2.疑問

1. 初始產生的信號到底是在哪個域？時域信號很容易讓人理解，發送的符號隨着時間一個一個的蹦出來，但是在時延多普勒域的信號是怎麼組織出來的，很讓人迷惑
2. 爲什麼信道估計的方法都這麼粗糙且迥異於OFDM時期的信道估計方法呢？和大家直覺所能理解的信道估計方法差距還是較大的(reference paper的2和3其實也有看，但是這兩種信道估計的方法更是羚羊掛角，無跡可尋，始終找不到一條可以把OTFS信道估計穿起來的線，要是找到這根線了再和大家分享)

reference

1. K. R. Murali and A. Chockalingam, “On OTFS Modulation for High-Doppler Fading Channels,” 2018 Information Theory and Applications Workshop (ITA), San Diego, CA, 2018, pp. 1-10, doi: 10.1109/ITA.2018.8503182.
2. P. Raviteja, K. T. Phan and Y. Hong, “Embedded Pilot-Aided Channel Estimation for OTFS in Delay–Doppler Channels,” in IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 68, no. 5, pp. 4906-4917, May 2019, doi: 10.1109/TVT.2019.2906357.
3. W. Shen, L. Dai, J. An, P. Fan and R. W. Heath, “Channel Estimation for Orthogonal Time Frequency Space (OTFS) Massive MIMO,” in IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 67, no. 16, pp. 4204-4217, 15 Aug.15, 2019, doi: 10.1109/TSP.2019.2919411.
4. M. Kollengode Ramachandran and A. Chockalingam, “MIMO-OTFS in High-Doppler Fading Channels: Signal Detection and Channel Estimation,” 2018 IEEE Global Communications Conference (GLOBECOM), Abu Dhabi, United Arab Emirates, 2018, pp. 206-212, doi: 10.1109/GLOCOM.2018.8647394.