OTFS Channel Estimation(1)

1.方法介绍

1.1 method in “MIMO-OTFS in High-Doppler Fading Channels: Signal Detection and Channel Estimation”

这篇paper中的信道估计方法其实之前的文章中也有提到，这里我们再介绍一下：
在时延多普勒域有公式$\hat{x}_q[k,l]=\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}x_p[n,m]\frac{1}{NM}h_{\omega_{qp}}(\frac{k-n}{NT},\frac{l-m}{M\Delta f})+v_q[k,l]$我们控制发射信号$x_p[n,m]=\begin{cases} 1 & (n,m)=(n_p,m_p) \\ 0 & (n,m)\neq(n_p,m_p) \end{cases}$得到时延多普勒域接收信号$\hat{x}_q[k,l]=\frac{1}{NM}h_{\omega_{qp}}(\frac{k-n}{NT},\frac{l-m}{M\Delta f})+v_q[k,l]$从而得到信道估计的值$\frac{1}{NM}h_{\omega_{qp}}(\frac{k}{NT},\frac{l}{M\Delta f})$

图1 信道响应示意图

即在发送时延多普勒域的信号的时候，在($n_p,n_m$)处发送信号1，在其余的地方信号为0，这样我们在接收到的信号中除去时延多普勒座标的影响，就可以正确地估计出信道。
对于MIMO信道，最重要的就是要避免信道响应产生重叠影响。根据图二，我们可以得到一个事实：信道响应的范围比调制范围小得多，据此我们可以同时做一些数量较小的MIMO信道估计

这样做信道估计的缺点也很明显，对于信道数较多的情况做信道估计显然不太现实，而且我们可以感觉到这种做法很粗糙，停留在理论设想阶段。

1.2 method in “On OTFS Modulation for High-Doppler Fading Channels”

这篇论文的信道估计部分有我关注的part。
让我精炼的阐述一下这篇文章信道估计的做法：

1.2.1前期准备

目的：求出时移参数$\delta_i$,多普勒参数$\nu_i$,以及衰落系数$\alpha_i$,这三个值知道了，我们就可以组合出信道。

首先我们有时域的输入输出表达式（这个部分和前一个直接在时延多普勒域进行估计的方法就有区别了）
$y(t)=\sum^{P}_{i=1}h_ix(t-\tau_i)e^{j2\pi \nu_i (t-\tau_i)}$将其离散化可以得到$R[n]=\sum_{i=1}^{P}\alpha_ie(\omega_i n)S[n-\delta_i]+v[n]$where $\alpha_i=h_i'e^{(j2\pi \nu_i K/W)},\delta_i=\tau_i W, \omega_i=N_p\nu_i /W$通过估计出$\alpha_i, \delta_i, \omega_i$来反解出我们的目的参数
同时定义内积运算$<f_1,f_2>=\sum_{n\in Z_{n_P}}f_1[n]f_2^*[n]$

1.2.2基于PN导频的信道估计

1. 简化表达式$R[n]=e(\omega_0 n)S[n-\delta_0]+v[]n$
2. 求内积$M(R,S)[\delta,\omega]=<R[n],e(\omega n)S[n-\delta]>$然后根据迭代对数定理，当$N_P\rightarrow \infty$时，以概率1的趋近于$M(R,S)[\delta,\omega]=\begin{cases} 1+\epsilon_{N_p}' & (\delta,\omega)=(\delta_0,\omega_0) \\ \epsilon_{N_p} & (\delta,\omega)\neq(\delta_0,\omega_0) \end{cases}$其中$|\epsilon_{N_p}'|\leq \frac{1}{\sqrt{N_p}}| ,|\epsilon_{N_p}|\leq \frac{C+1}{\sqrt{N_p}}$。

显然对于这个方法的信道估计，只要检测做完内积的大小，设置一个阈值，就能很容易的得到估计出来的$\delta_0,\omega_0$,这样我们就估计出了时移和多普勒的值，接着要估计$\alpha_i$,可以得到式子$\alpha_i\approx M(R,S)[\delta,\omega]$这样，我们信道估计就做完了

图2 多径信道的内积结果

1.2.3总结

这个方法估计信道值，由在时域相互正交的导频来区别不同的用户，已经隐含了多用户的思想，理论上有多少个正交的导频我们就可以估计出多少个不同用户的信道。

2.疑问

1. 初始产生的信号到底是在哪个域？时域信号很容易让人理解，发送的符号随着时间一个一个的蹦出来，但是在时延多普勒域的信号是怎么组织出来的，很让人迷惑
2. 为什么信道估计的方法都这么粗糙且迥异于OFDM时期的信道估计方法呢？和大家直觉所能理解的信道估计方法差距还是较大的(reference paper的2和3其实也有看，但是这两种信道估计的方法更是羚羊挂角，无迹可寻，始终找不到一条可以把OTFS信道估计穿起来的线，要是找到这根线了再和大家分享)

reference

1. K. R. Murali and A. Chockalingam, “On OTFS Modulation for High-Doppler Fading Channels,” 2018 Information Theory and Applications Workshop (ITA), San Diego, CA, 2018, pp. 1-10, doi: 10.1109/ITA.2018.8503182.
2. P. Raviteja, K. T. Phan and Y. Hong, “Embedded Pilot-Aided Channel Estimation for OTFS in Delay–Doppler Channels,” in IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 68, no. 5, pp. 4906-4917, May 2019, doi: 10.1109/TVT.2019.2906357.
3. W. Shen, L. Dai, J. An, P. Fan and R. W. Heath, “Channel Estimation for Orthogonal Time Frequency Space (OTFS) Massive MIMO,” in IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 67, no. 16, pp. 4204-4217, 15 Aug.15, 2019, doi: 10.1109/TSP.2019.2919411.
4. M. Kollengode Ramachandran and A. Chockalingam, “MIMO-OTFS in High-Doppler Fading Channels: Signal Detection and Channel Estimation,” 2018 IEEE Global Communications Conference (GLOBECOM), Abu Dhabi, United Arab Emirates, 2018, pp. 206-212, doi: 10.1109/GLOCOM.2018.8647394.