前面博客中介紹了數學模型中的微分方程，接下了繼續討論數學模型
1. 非線性微分方程的線性化
嚴格來說，幾乎所有的原件或系統的運動方程都是非線性方程。輸入、輸出和擾動等之間的關係都是非線性的。非線性微分方程的求解和控制系統性能研究十分複雜，線性化後可以簡化系統分析。
因此，研究非線性微分方程的線性化具有較強的工程實用價值。
在一定條件下或一定範圍內把非線性的數學模型化爲線性模型的處理方法就是非線性數學模型的線性化。
1.1 可以線性化的條件
一，小偏差理論和小信號理論。
在工程實踐中，控制系統都有一個額定的工作狀態和工作點，當變量在工作點附近小範圍的變化事，滿足這個條件。
只有在這個情況下轉化之後的誤差才足夠小。
二，在工作點附近存在各階倒數和偏導數
一元函數，一個y對應一個x，導數只有一個。二元函數，一個z對應一個x和一個y，那就有兩個導數了，一個是z對x的導數，一個是z對y的導數,稱之爲偏導，即輸入與輸出的導數都存在。
這個是能夠轉化的條件。
1.2 線性轉化的方法
小偏差法：在給定工作點的領域將線性函數展開爲泰勒級數，忽略級數中的二階和以上項，得到只包含偏差的一次項的線性方程。
泰勒公式是將一個在x=x0處具有n階導數的函數f（x）利用關於（x-x0）的n次多項式來逼近函數的方法。
若函數f（x）在包含x0的某個閉區間[a,b]上具有n階導數，且在開區間（a,b）上具有（n+1）階導數，則對閉區間[a,b]上任意一點x，成立下式：
其中，表示f（x）的n階導數，等號後的多項式稱爲函數f（x）在x0處的泰勒展開式，剩餘的Rn（x）是泰勒公式的餘項，是（x-x0）n的高階無窮小
如下是一個數學例子
以下是一個工程數學問題例子
1.3 線性轉化的注意點
首先需要確定工作點：線性化是針對工作點進行的，工作點不同得到的線性化方程的係數也不同，因此首先需要確定工作點
只適應於在工作點變化小的系統：在線性化的過程中，忽略了二階以上的無窮小項目，如果實際系統中輸入量變化範圍較大時，採用小偏差法建立線性模型必然會帶來較大的誤差
線性化後的方程通常是增量方程。
只有滿足前面兩個條件的纔可以：若描述非線性特性的函數具有間斷點、折斷點或非單值關係而無法作線性化處理時，則控制系統只能應用非線性理論來研究，本質非線性系統無法進行線性化。
2. 傳遞函數
2.1 引入傳遞函數的原因
微分方程模型的優缺點：
一，是時間域的數學模型，比較直觀。
二，藉助於電子計算機可以迅速而準確的求得結果。
三，不便於分析結構或參數變化對系統性能的影響。
因此，微分方程的方法研究控制系統對於參數變化或結構形式的改變的分析具有侷限性。
傳遞函數的優點與侷限性：
一，傳遞函數是複數域的數學模型
二，在研究系統結構或參數變化對性能的影響方面非常方便
三，線性定常系統纔有傳遞函數。
2.2 傳遞函數的定義
定義： 線性定常系統的傳遞函數，是在零初始條件下系統輸出量的拉普拉斯變換與系統輸入量的拉普拉斯變換之比。
以下是傳遞函數的標準形式
以下是傳遞函數幾個概念
以下是傳遞函數的其它形式
因式分解：把一個多項式在一個範圍(如實數範圍內分解，即所有項均爲實數)化爲幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。
2.3 傳遞函數的性質
一， 傳遞函數與微分方程：將微分方程算符d/dt用複數s置換可以得到傳遞函數。反之亦然。
二，傳遞函數反映系統自身固有特性，與輸入和初始條件無關。
三，不同的物理系統可能有相同的傳遞函數，而同一系統可以有不同的傳遞函數。
四， 一個傳遞函數只能表示一個輸入對一個輸出的函數關係，如果是多輸入多輸出系統，可以用傳遞函數陣表示。
對於m個輸入、n個輸出的線性定常系統，傳遞函數矩陣是一個個輸出的線性定常系統，傳遞函數矩陣是一個n×m階矩陣
五，傳遞函數與單位脈衝響應之間是拉氏變換與拉氏反變換的關係。
六，一般情況下，傳遞函數分子的階數m與分母的階數n滿足n≥m (稱爲物理現實性條件)
2.4 不滿足零初始條件的傳遞函數
系統的響應等於零輸入響應和零狀態響應零狀態響應之和
則傳遞函數爲零狀態響應之和。
例子：
