二叉樹基礎：
- 樹的定義：樹（英語：Tree）是一種無向圖（undirected graph），其中任意兩個頂點間存在唯一一條路徑。或者說，只要沒有迴路的連通圖就是樹。
- 二叉樹（英語：Binary tree）是每個節點最多隻有兩個分支(不存在分支度大於2的節點)的樹結構。通常分支被稱作“左子樹”和“右子樹”。二叉樹的分支具有左右次序，不能顛倒。
- 完全二叉樹：葉節點只能出現在最下層和次下層，並且最下面一層的結點都集中在該層最左邊的若干位置的二叉樹。
- 平衡二叉樹：它是一棵空樹或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，並且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。
- 樹的應用：
快速數據檢索：①STL的紅黑樹；②數據庫的B+樹；
文檔結構組織：DOM
人工智能：決策樹
遊戲：通過構造空間樹實現快速碰撞檢測（https://www.zhihu.com/question/25111128）
區塊鏈的默克爾樹
常用算法：
- 遞歸：樹的深度優先遍歷（以前序遍歷爲例）
模擬遍歷如下二叉樹：![]()
![]()
![]()
![]()
- 隊列：樹的廣度優先遍歷（分層遍歷）：
![]()
leetcode例題：
94.題目：給定一個二叉樹，返回它的中序 遍歷。
示例:
輸入: [1,null,2,3]
1
\
2
/
3
輸出: [1,3,2]
解法：
一、遞歸法：
# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.left = None
# self.right = None
class Solution:
def __init__(self):
self.ret=[]
def inorderTraversal(self, root):
"""
:type root: TreeNode
:rtype: List[int]
"""
if root is not None:
self.inorderTraversal(root.left)
self.ret.append(root.val)
self.inorderTraversal(root.right)
return self.ret
二、非遞歸：
def loopVersion(self, root): # 非遞歸版本
ret, stack = [], []
#如果root不爲空或者堆棧有元素：
while root or stack:
#1.root不爲空，root壓入堆棧
while root:
stack.append(root)
#2.root=root.left
root = root.left
#3.回到1
#4.如果堆棧有元素
if stack:
#5.彈出元素，加入返回隊列
root = stack.pop()
ret.append(root.val)
#6.root=root.left繼續while循環
root = root.right
return ret
106.題目：根據一棵樹的中序遍歷與後序遍歷構造二叉樹。
注意:
你可以假設樹中沒有重複的元素。
例如，給出
中序遍歷 inorder = [9,3,15,20,7]
後序遍歷 postorder = [9,15,7,20,3]
返回如下的二叉樹：
3
/ \
9 20
/ \
15 7
解法：
class Solution:
"""
@param inorder : A list of integers that inorder traversal of a tree
@param postorder : A list of integers that postorder traversal of a tree
@return : Root of a tree
"""
def buildTree(self, inorder, postorder):
# write your code here
return self._buildTree(inorder, 0, len(inorder), postorder, 0, len(postorder))
def _buildTree(self, inorder, in_start, in_end, postorder, post_start, post_end):
if in_start >= in_end:
return None
i = in_start
while i < in_end:
if inorder[i] == postorder[post_end -1]: # 找到根節點
break
i += 1
root = TreeNode(inorder[i])
left_len = i - in_start # 左子樹元素數量
root.left = self._buildTree(inorder, in_start, i, postorder, post_start, post_start + left_len)
root.right = self._buildTree(inorder, i + 1, in_end, postorder, post_start + left_len, post_end - 1)
示例：
輸入：
4
/ \
2 7
/ \ / \
1 3 6 9
輸出：
4
/ \
7 2
/ \ / \
9 6 3 1
解法：遞歸法與中序遍歷相似
# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.left = None
# self.right = None
class Solution:
def invertTree(self, root):
"""
:type root: TreeNode
:rtype: TreeNode
"""
if root is not None:
root.left,root.right = root.right,root.left
self.invertTree(root.left)
self.invertTree(root.right)
return root
堆的基礎知識：
- 堆的定義（from Wiki）：堆的實現通過構造二叉堆（binary heap），實爲二叉樹的一種；由於其應用的普遍性，當不加限定時，均指該數據結構的這種實現。這種數據結構具有以下性質：
①任意節點小於（或大於）它的所有後裔，最小元或最大元）在堆的根上（堆序性）。
②堆總是一棵完全樹。即除了最底層，其他層的節點都被元素填滿，且最底層儘可能地從左到右填入。 - 建堆的過程：
![]()
![]()
- 建堆的複雜度分析：
①N個節點的堆高度最大爲h=logN，最下面一層非葉子節點最多調整1次，倒數第2層最多2次，…依此類推，根節點最多需要h次。
②最下面一層子節點共有2^(h-1)個，倒數第2層有2^(h-2)個，…依此類推，根節點有2^(h-h)個1個。
③所以總的時間複雜度爲1^(h-1) + 2*2^(h-2) + (h-1)*2 + h，得到結果爲N*2 –2 –log(N)，所以時間複雜度O(n)。 - 堆的應用：
![]()
leetcode例題：
題目：堆化
給出一個整數數組，堆化操作就是把它變成一個最小堆數組。
對於堆數組A，A[0]是堆的根，並對於每個A[i]，A [i * 2 + 1]是A[i]的左兒子並且A[i * 2 + 2]是A[i]的右兒子。
您在真實的面試中是否遇到過這個題？ 是
題目糾錯
說明
什麼是堆？
- 堆是一種數據結構，它通常有三種方法：push， pop 和 top。其中，“push”添加新的元素進入堆，“pop”刪除堆中最小/最大元素，“top”返回堆中最小/最大元素。
什麼是堆化？
- 把一個無序整數數組變成一個堆數組。如果是最小堆，每個元素A[i]，我們將得到A[i * 2 + 1] >= A[i]和A[i * 2 + 2] >= A[i]
如果有很多種堆化的結果？
- 返回其中任何一個。
樣例
給出 [3,2,1,4,5]，返回[1,2,3,4,5] 或者任何一個合法的堆數組
挑戰
O(n)的時間複雜度完成堆化
解法：
class Solution:
"""
@param: A: Given an integer array
@return: nothing
"""
def heapify(self, A):
# write your code here
for i in range(int((len(A)-1)/2),-1,-1):
while i < len(A):
left,right = i*2+1,i*2+2
min_pos = i
if (left<len(A)) and (A[left]<A[min_pos]):
min_pos=left
if (right<len(A)) and (A[right]<A[min_pos]):
min_pos=right
if min_pos!=i:
A[i],A[min_pos]=A[min_pos],A[i]
i = min_pos
else:
break
合併 k 個排序鏈表，返回合併後的排序鏈表。請分析和描述算法的複雜度。
示例:
輸入:
[
1->4->5,
1->3->4,
2->6
]
輸出: 1->1->2->3->4->4->5->6
解法：這是別人寫的一個解法，我自己沒做出來
# Definition for singly-linked list.
# class ListNode:
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.next = None
class Solution:
def mergeKLists(self, lists):
"""
:type lists: List[ListNode]
:rtype: ListNode
"""
k=len(lists)
if k==0:
return []
if k==1:
return lists[0]
combine_list=lists[0]
aim_list=ListNode(0)
for i in range(1,k):
pointer_aim_list=aim_list
list_1=combine_list
#list_2=lists[i]
pointer_list_2=lists[i]
pointer_list_1=list_1
while pointer_list_1!=None or pointer_list_2!=None:
if pointer_list_1==None:
pointer_aim_list.next=pointer_list_2
break
if pointer_list_2==None:
pointer_aim_list.next=pointer_list_1
break
if pointer_list_1.val<=pointer_list_2.val:
pointer_aim_list.next=pointer_list_1
pointer_list_1=pointer_list_1.next
pointer_aim_list=pointer_aim_list.next
else:
pointer_aim_list.next=pointer_list_2
pointer_list_2=pointer_list_2.next
pointer_aim_list=pointer_aim_list.next
combine_list=aim_list.next
#aim_list=aim_list.next
return aim_list.next
這是另一種，速度更快
# Definition for singly-linked list.
# class ListNode:
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.next = None
class Solution:
def less(self, a, b):
if a.val < b.val:
return a
else:
return b
def mergeTwoLists(self, l1, l2):
l3 = ListNode(0)
rl3 = l3
while l1 or l2:
if not l1 or not l2:
l3.next = l1 if l1 else l2
break
l3.next = self.less(l1, l2)
if l3.next == l1:
l1 = l1.next
else:
l2 = l2.next
l3 = l3.next
return rl3.next
def mergeKLists(self, lists):
half = int(len(lists)/2)
left = lists[0:half]
right = lists[half:]
if 0 <= len(left) <= 1 and 0 <= len(right) <= 1:
return self.mergeTwoLists(left[0] if left else [], right[0] if right else [])
return self.mergeTwoLists(self.mergeKLists(left), self.mergeKLists(right))
To be continue......