BZOJ 2466: [中山市選2009]樹 高斯消元

Description

圖論中的樹爲一個無環的無向圖。給定一棵樹，每個節點有一盞指示燈和一個按鈕。如果節點的按扭被按了，那麼該節點的燈會從熄滅變爲點亮（當按之前是熄滅的），或者從點亮到熄滅（當按之前是點亮的）。並且該節點的直接鄰居也發生同樣的變化。
開始的時候，所有的指示燈都是熄滅的。請編程計算最少要按多少次按鈕，才能讓所有節點的指示燈變爲點亮狀態。

Input

輸入文件有多組數據。
輸入第一行包含一個整數n，表示樹的節點數目。每個節點的編號從1到n。
輸入接下來的n – 1行，每一行包含兩個整數x，y，表示節點x和y之間有一條無向邊。
當輸入n爲0時，表示輸入結束。

Output

對於每組數據，輸出最少要按多少次按鈕，才能讓所有節點的指示燈變爲點亮狀態。每一組數據獨佔一行。

Sample Input

3

1 2

1 3

0

Sample Output

1

HINT

對於100%的數據，滿足1 <= n <=100。

題解

開關燈問題的樹上版本，每個燈都只與與他相連的點按的總數的奇偶性有關，那麼我們用0表示不按，1表示按，列出n個異或方程，高斯消一下即可，自由元會影響非自由元的取值，所以對於自由元2^n枚舉選還是不選，取最小值。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int n;
int f[101][101];
bool Free[101];
int tot=0;
void gause()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int j;
        for(j=i;j<=n;j++) if(f[j][i]) break;
        if(j==n+1)
        {
            Free[i]=true;
            tot++;
            continue;
        }
        for(int k=i;k<=n+1;k++) swap(f[i][k],f[j][k]);
        for(j=i+1;j<=n;j++)
            if(f[j][i])
                for(int k=i;k<=n+1;k++)
                    f[j][k]^=f[i][k];
    }
}
int ans[101];
int get_ans()
{
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        if(Free[i]) continue;
        ans[i]=f[i][n+1];
        for(int j=i+1;j<=n;j++) if(f[i][j]) ans[i]^=ans[j];
    }
    int re=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(ans[i]) re++;
    return re;
}
int main()
{
    while(1)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
        memset(Free,0,sizeof(Free));
        tot=0;
        scanf("%d",&n);
        if(n==0) break;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            int l,r;
            scanf("%d%d",&l,&r);
            f[l][r]=1;
            f[r][l]=1;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=f[i][n+1]=1;
        gause();
        int anss=2147483647;
        for(int i=0;i<(1<<tot);i++)
        {
            int t=i;
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(Free[j])
                {
                    ans[j]=(t&1);
                    t>>=1;
                }
            anss=min(anss,get_ans());
        }
        printf("%d\n",anss);
    }
    return 0;
}