【信號與系統學習筆記】—— 拉普拉斯變換的性質分析

一、信號的收斂域與零極點圖的關係

如果信號的拉普拉斯變換是：$X(s)$，假設它是一個有理的（即可以表示成兩個多項式的比值）：$X(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$
令 $N(s) = 0$，求出來的解是 $X(s)$ 的零點。令 $D(s) = 0$，求出的解是 $X(s)$ 的極點。值得注意的是，解可以是實數，也可以是複數。 接下來，我們將零點在複平面上用圓圈表示；將極點在複平面上用交叉表示。如下圖的一個例子所示：

從這個圖我們可以看出，$X(s)$ 的零點是：$s = 1$；極點是 $s = -1, -2$。所以據此，我們可以推導出 $X(s)$ 的表達式，只不過有可能會相差一個常數係數：$X(s) = C\frac{s - 1}{(s+1)(s+2)}$

下面我們給出 $ROC$（收斂域）與零極點圖的關係性質：

1. 對於右邊信號而言，ROC一定位於 $X(s)$ 最右邊極點的右邊。
2. 對於左邊信號而言，ROC一定位於 $X(S)$ 最左邊極點的左邊。
3. 對於雙邊信號而言，$ROC$ 可能是任意兩個相鄰極點之間的帶狀區域。
4. 對於持續時間有限的信號，其 $ROC$ 是整個平面。

二、拉普拉斯變換的特點

2.1 線性性

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若：$x(t)\space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space X(s)R_1$，且ROC =$R_1$ ；$y(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space Y(s)$，且 ROC = $R_2$。
那麼有：$ax(t) + by(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space aX(s) + bY(s)$，其中，新的ROC至少包含 $R_1 ∩ R_2$

特別要注意的是：在極點抵消的時候會出現ROC變大的情況。那麼下面我們給出一個判斷什麼時候新信號ROC變大的條件：如果 $ax(t) + by(t)$中，零點和極點有相互抵消的情況，那麼其 ROC 就會變大。

我們看一個例子：$x(t) = δ(t) + e^{-t}u(t)$；$y(t) = -e^{-t}u(t)$，那麼問 $x(t) + y(t)$ 的拉普拉斯變換。

如果單獨看每一個信號的拉氏變換：$x(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space 1+\frac{1}{s+1}$；$y(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space -\frac{1}{s+1}$

我們可以看到 ，$X(s)$ 的 ROC 是 $Re\{s\} > -1$，$Y(s)$ 的ROC是 $Re\{s\} > -1$。那麼按理講，信的信號的拉氏變換的 ROC 應該是 $Re\{s\} > -1$吧。可是，如果我們把整個表達式合起來分析，有：$x(t) + y(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space 1 + \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+1} = 1$
所以真正的 ROC 應該是整個平面。即 ROC 擴大了。這是因爲信號的極點被抵消了。

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2.2 時移性

這個其實是和傅里葉變換的時移性一樣的。表述如下：

若 $x(t)\space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space X(s)$，且ROC =$R_1$ ；那麼：$x(t - t_0) \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space X(s)e^{-st_0}$，其 ROC 範圍不變。

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2.3 S域平移

若 $x(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space X(s)$，且ROC =$R_1$ ；那麼：$x(t)e^{s_0t} \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space X(s - s_0)$。其 ROC 將會變爲 ：$R + Re\{s_0\}$

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2.4 尺度變換

若 $x(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space X(s)$，且ROC =$R_1$ ，那麼：$x(at) \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space \frac{1}{|a|}X(\frac{s}{a})$，相應地，ROC變爲：$aR_1$.是擴展還是壓縮就看 $a$ 的值，如下圖所示：

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2.5 卷積性

若：$x(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space X(s)$，$y(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space Y(s)$，且其ROC分別是 $R_1, R_2$。那麼，$x(t) * y(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space X(s)Y(s)$，且其 ROC 至少包括 $R_1 ∩ R_2$

同樣的道理，這裏的 ROC是至少包括 $R_1 ∩ R_2$。因爲在 $X(s), Y(s)$ 相乘的時候，可能會發生分子分母相互約掉的情況，就會導致極點發生變化。而如果很不幸，這個被約掉的極點恰好就是決定ROC的極點，那麼就會導致ROC的擴大。

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2.6 時域微分性

若：$x(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space X(s)$，那麼：$\frac{dx(t)}{dt} \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space sX(s)$，新的 ROC包括 R，但是也是可能會擴大。

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2.7 時域積分

若 $x(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space X(s)$，那麼：$\int_{-∞}^{t}x(τ)dτ \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space \frac{1}{s}X(s)$，其 ROC 包括 $R ∩ (Re\{s\} > 0)$

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2.8 S域微分

若 $x(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space X(s)$，那麼 $\frac{dX(s)}{ds} \space \underleftrightarrow{\mathscr{L}} \space-tx(t)$，S域微分的話，ROC區域是不會改變的。

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OK！這一節暫時先寫到這兒。這兩天出 $Blog$ 的速度會比平時慢一些，因爲最近不少DDL要肝哈哈哈。大家互勉！共同加油吧！下一篇博客將會介紹拉普拉斯反變換以及利用零極點圖對傅里葉變換進行幾何求值的問題。See You！