【信號與系統學習筆記】—— 拉普拉斯反變換+由零極點圖對傅里葉變換幾何求值

在開始本文的學習之前，大家需要記憶兩種特殊形式的信號所對應的拉氏變換以及其對應的 ROC 區域：

1. 信號 $x(t) = e^{-at}u(t)$，其拉氏變換爲：$X(s) = \frac{1}{s+ a}$，ROC爲：$Re\{s\} > -a$（也就是以 $σ = -a$ 爲軸右邊的所有區域）
2. 信號 $x(t) = -e^{-at}u(-t)$，其拉氏變換爲：$X(s) = \frac{1}{s+a}$，ROC爲：$Re\{s\} < -a$（也就是以 $σ = -a$ 爲軸左邊的所有區域）
   通過上面的例子可以知道：不同信號的拉氏變換的表達式有可能一模一樣，但是其 ROC 是不一樣的。因此在表述一個信號的拉氏變換時，需要將表達式和 ROC 一起說明。這樣才能完全確定一個信號。

一、拉普拉斯反變換

最實在的求拉普拉斯反變換的方法就是——將 $X(s)$ 做部分分式展開，原 $X(s)$ 就可以拆成幾個有理分式的和或者是差。然後根據我們上面引言部分需要記憶的兩種拉氏變換對，再結合 ROC 區域，確定出原信號的表達式。

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聽起來可能有點繞，我們直接看一個例子你就會了：

例：假設 $X(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)}, \quad -2<Re\{s\} < -1$
求它的拉普拉斯逆變換 $x(t)$

【第一步】：將 $X(s)$ 展開：$X(s) = \frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2}$
【第二步】：分一個部分分式： $\frac{1}{s+1}$ 、 $\frac{1}{s+2}$ 都是引言中所提到的兩種信號之一的拉氏變換。以 $\frac{1}{s+1}$ 爲例：它可以是 $e^{-t}u(t)$，ROC爲：$Re\{s\} > -1$；另外也有可能是 $-e^{-t}u(t)$，ROC爲：$Re\{s\} < -1$

【第三步】我們畫出 $X(s)$ 的ROC：

我們可以看出是一個帶狀區域。

【第四步】：湊ROC。我們就看 $\frac{1}{s+1}$ 、 $\frac{1}{s+2}$的 ROC到底是哪種組合，他們的交集纔是這樣 [-2, -1] 的帶狀區域。我們發現：當 $\frac{1}{s+1}$ 的 ROC爲：$Re\{s\} < -1$；$\frac{1}{s+2}$的 ROC爲 ：$Re\{s\} > -2$ 的組合時，他們的交集纔是這樣的帶狀區域。

【第五步】：確定信號。已知了ROC，又知道了拉氏變換的表達式，就可以唯一確定信號了。
$x(t) = -e^{-t}u(-t) - e^{-2t}u(t)$

另外插一句確定ROC的好辦法：有時候題目會說某一信號 $x(t)$ 是絕對可積之類的描述。但是，可千萬別小看了“絕對可積”這個條件。他表示的含義是——這個信號的傅里葉變換存在！ 這就意味着 $x(t)$ 的ROC應該包括虛軸！！而如果恰好你的極點都是 >0 的，那麼直接可以確定 ROC 平面是最左邊極點的左邊的。

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二、由零極點圖對傅里葉變換幾何求值

這一部分的內容常常用於求解一些濾波器的幅頻特性和相頻特性。我們一起來看看怎麼做的：

【1】首先咱們得畫出零極點圖。假設其極點是 $-\frac{1}{τ}$，沒有零點。

【2】接下來，我們在虛軸上隨便取一點，那麼幅頻特性就是每一個零點到虛軸這個點得向量的模值的乘積，比上所有極點到這個點向量模值的乘積，相頻特性就是所有零點到該點的向量的夾角之和減去所有極點到該點的向量的夾角之和。

如上圖所示，那麼幅頻特性就是：

相頻特性爲：

我們再次回到剛剛的例子：（假設其極點是 $-\frac{1}{τ}$，沒有零點。）那麼我們在虛軸隨便取了一個點，極點到這個點的向量如下圖所示：

我們可以看到，當頻率從0開始逐漸增大的時候，這個向量的長度也是單調增加。（但是由於極點向量的長度是放在分母的，所以整個幅頻特性的模值是單調下降的）在頻率爲0時，能夠取得最大值。

所以在頻率從0增大到正無窮時，幅頻特性是從一個數開始慢慢下降，最後趨近於0.如下圖所示：

在頻率從0減小到負無窮時，變化是對稱的。相頻特性如下所示：

因此在頻率爲0時，角度是0.在頻率是正無窮時，-$θ$ = -$\frac{π}{2}$

上面的是一階系統，我們下面簡單看看二階的系統：具體的推導大家詳見奧本海姆的《信號與系統》這裏只給出幅頻特性的大致曲線。

這樣的效果我們稱系統具有帶通特性。

好啦！有到了本次博客結束的時候啦！本次博客我們學習了拉普拉斯反變換（尤其是部分分式展開的方法是經常要用的）另外在引言部分所提到了兩組信號的拉氏變換對需要牢牢記憶。我們還研究了由零極點圖對傅里葉變換幾何求值。下一篇博客，我們將會探討拉氏變換和系統性質方面的關係。See You！